Kalkulus Contoh

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Langkah 1

Tulis $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 + 0$

Langkah 2.1.4.2

Tambahkan $3 x^{2} - 6 x + 6$ dan $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 6 = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} - 6 x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x + 6 = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $3$ dari $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 6 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Langkah 3.2.4

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2 = 0$

Langkah 3.2.5

Faktorkan $3$ dari $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 2$ .

$3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $3 (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $x^{2} - 2 x + 2$ dengan $1$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = \frac{0}{3}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Langkah 3.4

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.5

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 2$ , dan $c = 2$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.3

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.6.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Langkah 3.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Langkah 3.7.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = 1 + i$

Langkah 3.8

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.3

Kurangi $8$ dengan $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.4

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.7

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.1.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.8.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Langkah 3.8.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = 1 - i$

Langkah 3.9

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + i, 1 - i$

Langkah 4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 5

Tidak ada titik yang membuat turunan $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi. Interval untuk memeriksa apakah $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 8$ naik atau turun yaitu $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan, seperti $1$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ pada turunan $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ untuk mengetahui apakah hasilnya negatif atau positif. Jika hasilnya negatif, grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ . Jika hasilnya positif, grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1 + 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1 + 6$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1 + 6$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 + 6$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$f' (1) = - 3 + 6$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 3$ dan $6$ .

$f' (1) = 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 7

Hasil dari mensubstitusikan $1$ ke dalam $f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 6$ adalah $3$ , yang mana positif sehingga grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \infty, \infty)$ karena $3 x^{2} - 6 x + 6 > 0$

Langkah 8

Meningkat selama interval $(- \infty, \infty)$ berarti bahwa fungsinya selalu meningkat.

Selalu Meningkat

Langkah 9