Kalkulus Contoh

$e^{- x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $e^{- x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{- x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Langkah 2.1.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- x^{2}}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x e^{- x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.8.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{- x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Langkah 2.2.10

Kalikan $e^{- x^{2}}$ dengan $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Langkah 2.2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 e^{- x^{2}}$

Langkah 2.2.11.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Langkah 2.2.11.3

Susun kembali suku-suku.

$4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$

Langkah 2.2.11.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $4 e^{- x^{2}} x^{2} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $2 e^{- x^{2}}$ dari $4 x^{2} e^{- x^{2}} - 2 e^{- x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $2 e^{- x^{2}}$ dari $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{- x^{2}} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $2 e^{- x^{2}}$ dari $- 2 e^{- x^{2}}$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $2 e^{- x^{2}}$ dari $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{- x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{- x^{2}}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{- x^{2}}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{- x^{2}} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x^{2}} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $2 x^{2} - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $2 x^{2} - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $2 x^{2} - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x^{2} = 1$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x^{2} = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{2} = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{2}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.2

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.3

Naikkan $\sqrt{2}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 e^{- x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dalam $f (x) = e^{- x^{2}}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.2.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 4.1.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Langkah 4.1.2.4

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 4.1.2.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.1.2.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.1.2.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.1.2.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{\sqrt{2}}{2}$ dalam $f (x) = e^{- x^{2}}$ adalah $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.3

Substitusikan $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dalam $f (x) = e^{- x^{2}}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Langkah 4.3.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Langkah 4.3.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 4.3.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 4.3.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.4.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Langkah 4.3.2.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2}{4}}$

Langkah 4.3.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Langkah 4.3.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.3.2.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Langkah 4.3.2.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4.3.2.7

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3.2.8

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dalam $f (x) = e^{- x^{2}}$ adalah $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.80710678$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.80710678) = 4 {(- 0.80710678)}^{2} e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $2.60568542$ dan $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.9

Bagilah $2.60568542$ dengan $1.91826543$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(- 0.80710678)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.10

Naikkan $- 0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Langkah 6.2.1.11

Kalikan $- 1$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Langkah 6.2.1.12

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Langkah 6.2.1.13

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Langkah 6.2.1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Langkah 6.2.2

Kurangi $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ dengan $1.35835499$ .

$f'' (- 0.80710678) = 0.31574641$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.31574641$ .

$0.31574641$

Langkah 6.3

Pada $- 0.80710678$ , turunan keduanya adalah $0.31574641$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 4 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot (0 e^{- {(0)}^{2}}) - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 e^{0} - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.5

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.6

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.7

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{- 0}$

Langkah 7.2.1.8

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 2 e^{0}$

Langkah 7.2.1.9

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.10

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 - 2$

Langkah 7.2.2

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 7.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

Menurun pada $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.80710678$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.80710678) = 4 {(0.80710678)}^{2} e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.80710678) = 4 \cdot (0.65142135 e^{- {(0.80710678)}^{2}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- {(0.80710678)}^{2}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 1 \cdot 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 e^{- 0.65142135} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 2.60568542 (\frac{1}{e^{0.65142135}}) - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.6

Gabungkan $2.60568542$ dan $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{e^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.7

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{{2.71828182}^{0.65142135}} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.8

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = \frac{2.60568542}{1.91826543} - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.9

Bagilah $2.60568542$ dengan $1.91826543$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- {(0.80710678)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.10

Naikkan $0.80710678$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 1 \cdot 0.65142135}$

Langkah 8.2.1.11

Kalikan $- 1$ dengan $0.65142135$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 e^{- 0.65142135}$

Langkah 8.2.1.12

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - 2 \frac{1}{e^{0.65142135}}$

Langkah 8.2.1.13

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{0.65142135}}$ .

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 + \frac{- 2}{e^{0.65142135}}$

Langkah 8.2.1.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (0.80710678) = 1.35835499 - \frac{2}{e^{0.65142135}}$

Langkah 8.2.2

Kurangi $\frac{2}{e^{0.65142135}}$ dengan $1.35835499$ .

$f'' (0.80710678) = 0.31574641$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.31574641$ .

$0.31574641$

Langkah 8.3

Pada $0.80710678$ , turunan keduanya adalah $0.31574641$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$ .

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 10