Kalkulus Contoh

$f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{4} + 6 x^{2} - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 4 x^{3} + 12 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $- 4 x^{3} + 12 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 4 x^{3} + 12 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$- 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$- 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 12 x^{2} + 12 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 12 x^{2} + 12$ .

$- 12 x^{2} + 12$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 12 x^{2} + 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 12 x^{2} + 12 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 12 x^{2} = - 12$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 12 x^{2} = - 12$ dengan $- 12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 12 x^{2} = - 12$ dengan $- 12$ .

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 12 x^{2}}{- 12} = \frac{- 12}{- 12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $- 12$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.5

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = - {(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 4$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 {(1)}^{2} - 4$

Langkah 3.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f (1) = - 1 + 6 - 4$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$f (1) = 5 - 4$

Langkah 3.1.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f (1) = 1$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ adalah $(1, 1)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, 1)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{4}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 3.3.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 {(- 1)}^{2} - 4$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 \cdot 1 - 4$

Langkah 3.3.2.1.4

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 - 4$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $6$ .

$f (- 1) = 5 - 4$

Langkah 3.3.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f (- 1) = 1$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = - x^{4} + 6 x^{2} - 4$ adalah $(- 1, 1)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, 1)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, 1), (- 1, 1)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = - 12 {(- 1.1)}^{2} + 12$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 14.52 + 12$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 14.52$ dan $12$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.52$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.52$ .

$- 2.52$

Langkah 5.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 2.52$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - 12 {(0)}^{2} + 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = - 12 \cdot 0 + 12$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$f'' (0) = 12$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $12$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = - 12 {(1.1)}^{2} + 12$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = - 12 \cdot 1.21 + 12$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 12$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 14.52 + 12$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 14.52$ dan $12$ .

$f'' (1.1) = - 2.52$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2.52$ .

$- 2.52$

Langkah 7.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 2.52$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, 1), (1, 1)$ .

$(- 1, 1), (1, 1)$

Langkah 9