Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + 12$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{2} - 18 x + 12$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 18 x$ terhadap $x$ adalah $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + \frac{d}{d x} (12)$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18 + 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $12 x - 18$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 18$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x - 18$ .

$12 x - 18$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x - 18 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 x - 18 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $18$ ke kedua sisi persamaan.

$12 x = 18$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $12 x = 18$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $12 x = 18$ dengan $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{12} = \frac{18}{12}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{18}{12}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan $6$ dari $18$ .

$x = \frac{6 (3)}{12}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan $6$ dari $12$ .

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{6 \cdot 3}{6 \cdot 2}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{3}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{3}{2}) = 2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2^{3}}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{8}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 (4)}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = 2 (\frac{27}{2 \cdot 4}) - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 {(\frac{3}{2})}^{2} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{3^{2}}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.6

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 \frac{9}{2^{2}} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - 9 (\frac{9}{4}) + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.8

Kalikan $- 9 (\frac{9}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.8.1

Gabungkan $- 9$ dan $\frac{9}{4}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.8.2

Kalikan $- 9$ dengan $9$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} + \frac{- 81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 12 (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.10.1

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 (6) (\frac{3}{2})$

Langkah 3.1.2.1.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 2 \cdot (6 (\frac{3}{2}))$

Langkah 3.1.2.1.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 6 \cdot 3$

Langkah 3.1.2.1.11

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + 18$

Langkah 3.1.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{27 - 81}{4}$

Langkah 3.1.2.2.2

Kurangi $81$ dengan $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 54}{4}$

Langkah 3.1.2.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 54$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 54$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 (- 27)}{4}$

Langkah 3.1.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.1.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.1.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{3}{2}) = 18 + \frac{- 27}{2}$

Langkah 3.1.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{3}{2}) = 18 - \frac{27}{2}$

Langkah 3.1.2.4

Untuk menuliskan $18$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2}$

Langkah 3.1.2.5

Gabungkan $18$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2}$

Langkah 3.1.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{18 \cdot 2 - 27}{2}$

Langkah 3.1.2.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.7.1

Kalikan $18$ dengan $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{36 - 27}{2}$

Langkah 3.1.2.7.2

Kurangi $27$ dengan $36$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2}$

Langkah 3.1.2.8

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{3}{2}$ dalam $f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} + 12 x$ adalah $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{3}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.4) = 12 (1.4) - 18$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $12$ dengan $1.4$ .

$f'' (1.4) = 16.8 - 18$

Langkah 5.2.2

Kurangi $18$ dengan $16.8$ .

$f'' (1.4) = - 1.2$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1.2$ .

$- 1.2$

Langkah 5.3

Pada $1.4$ , turunan kedua adalah $- 1.2$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{3}{2})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{3}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.6) = 12 (1.6) - 18$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $12$ dengan $1.6$ .

$f'' (1.6) = 19.2 - 18$

Langkah 6.2.2

Kurangi $18$ dengan $19.2$ .

$f'' (1.6) = 1.2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.2$ .

$1.2$

Langkah 6.3

Pada $1.6$ , turunan keduanya adalah $1.2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{3}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$ .

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{2})$

Langkah 8