Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x {(x - 4)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x {(x - 4)}^{3})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{3}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 4$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4.4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 1.1.4.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Langkah 1.1.4.6

Kalikan ${(x - 4)}^{3}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1.1.5.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1.1.5.3

Faktorkan $2 {(x - 4)}^{2}$ dari $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1

Faktorkan $2 {(x - 4)}^{2}$ dari $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1.1.5.3.2

Faktorkan $2 {(x - 4)}^{2}$ dari $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Langkah 1.1.5.3.3

Faktorkan $2 {(x - 4)}^{2}$ dari $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Langkah 1.1.5.4

Tambahkan $3 x$ dan $x$ .

$f' (x) = 2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.5

Tulis kembali ${(x - 4)}^{2}$ sebagai $(x - 4) (x - 4)$ .

$f' (x) = 2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.6

Perluas $(x - 4) (x - 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.7.1.2

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.7.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.7.2

Kurangi $4 x$ dengan $- 4 x$ .

$f' (x) = 2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.8

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.9.1

Kalikan $- 8$ dengan $2$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.9.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$f' (x) = (2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Langkah 1.1.5.10

Perluas $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f' (x) = 2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.11.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{2} x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.11.2.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.11.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (4 x^{3}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.3

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.4

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.11.6.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 (x \cdot x)) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot (4 x^{2}) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.7

Kalikan $- 16$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.8

Kalikan $- 4$ dengan $- 16$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.9

Kalikan $4$ dengan $32$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Langkah 1.1.5.11.10

Kalikan $32$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Langkah 1.1.5.12

Kurangi $64 x^{2}$ dengan $- 8 x^{2}$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Langkah 1.1.5.13

Tambahkan $64 x$ dan $128 x$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [192 x] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 72$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 72 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 72$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + \frac{d}{d x} (192 x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [192 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $192$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $192 x$ terhadap $x$ adalah $192 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $192$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + \frac{d}{d x} (- 128)$

Langkah 1.2.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Karena $- 128$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 128$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192 + 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $24 x^{2} - 144 x + 192$ dan $0$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 144 x + 192$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$24 x^{2} - 144 x + 192 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $24$ dari $24 x^{2} - 144 x + 192$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $24$ dari $24 x^{2}$ .

$24 (x^{2}) - 144 x + 192 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $24$ dari $- 144 x$ .

$24 (x^{2}) + 24 (- 6 x) + 192 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $24$ dari $192$ .

$24 x^{2} + 24 (- 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $24$ dari $24 x^{2} + 24 (- 6 x)$ .

$24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $24$ dari $24 (x^{2} - 6 x) + 24 \cdot 8$ .

$24 (x^{2} - 6 x + 8) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 6 x + 8$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $8$ dan jumlahnya $- 6$ .

$- 4, - 2$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$24 ((x - 4) (x - 2)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$24 (x - 4) (x - 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $24 (x - 4) (x - 2) = 0$ benar.

$x = 4, 2$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4$ dalam $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = 2 (4) {((4) - 4)}^{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f (4) = 8 {((4) - 4)}^{3}$

Langkah 3.1.2.2

Kurangi $4$ dengan $4$ .

$f (4) = 8 \cdot 0^{3}$

Langkah 3.1.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (4) = 8 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.4

Kalikan $8$ dengan $0$ .

$f (4) = 0$

Langkah 3.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $4$ dalam $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ adalah $(4, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(4, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 2 (2) {((2) - 4)}^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (2) = 4 {((2) - 4)}^{3}$

Langkah 3.3.2.2

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$f (2) = 4 {(- 2)}^{3}$

Langkah 3.3.2.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (2) = 4 \cdot - 8$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $4$ dengan $- 8$ .

$f (2) = - 32$

Langkah 3.3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $- 32$ .

$- 32$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = 2 x {(x - 4)}^{3}$ adalah $(2, - 32)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, - 32)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(4, 0), (2, - 32)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.9) = 24 {(1.9)}^{2} - 144 \cdot 1.9 + 192$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $1.9$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.9) = 24 \cdot 3.61 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $3.61$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 144 \cdot 1.9 + 192$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 144$ dengan $1.9$ .

$f'' (1.9) = 86.64 - 273.6 + 192$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $273.6$ dengan $86.64$ .

$f'' (1.9) = - 186.96 + 192$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 186.96$ dan $192$ .

$f'' (1.9) = 5.04$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5.04$ .

$5.04$

Langkah 5.3

Pada $1.9$ , turunan keduanya adalah $5.04$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(2, 4)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = 24 {(3)}^{2} - 144 \cdot 3 + 192$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (3) = 24 \cdot 9 - 144 \cdot 3 + 192$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $9$ .

$f'' (3) = 216 - 144 \cdot 3 + 192$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 144$ dengan $3$ .

$f'' (3) = 216 - 432 + 192$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $432$ dengan $216$ .

$f'' (3) = - 216 + 192$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 216$ dan $192$ .

$f'' (3) = - 24$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 24$ .

$- 24$

Langkah 6.3

Pada $3$ , turunan kedua adalah $- 24$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(2, 4)$

Menurun pada $(2, 4)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4.1) = 24 {(4.1)}^{2} - 144 \cdot 4.1 + 192$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $4.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4.1) = 24 \cdot 16.81 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $16.81$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 144 \cdot 4.1 + 192$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 144$ dengan $4.1$ .

$f'' (4.1) = 403.44 - 590.4 + 192$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $590.4$ dengan $403.44$ .

$f'' (4.1) = - 186.96 + 192$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 186.96$ dan $192$ .

$f'' (4.1) = 5.04$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5.04$ .

$5.04$

Langkah 7.3

Pada $4.1$ , turunan keduanya adalah $5.04$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(2, - 32), (4, 0)$ .

$(2, - 32), (4, 0)$

Langkah 9