Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 12)}^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 12)}^{2})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 12$ .

$f' (x) = 2 (2 (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = 4 ((x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12))$

Langkah 1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 12$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12))$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12))$

Langkah 1.1.3.4

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x + 0)$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 (x^{2} - 12) (2 x)$

Langkah 1.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$f' (x) = 8 (x^{2} - 12) x$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = (8 x^{2} + 8 \cdot - 12) x$

Langkah 1.1.4.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 8 x^{2} x + 8 \cdot (- 12 x)$

Langkah 1.1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 8 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 12 x)$

Langkah 1.1.4.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 8 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 12 x)$

Langkah 1.1.4.3.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 8 \cdot (- 12 x)$

Langkah 1.1.4.3.4

Kalikan $8$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 96 x$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{3} - 96 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 96$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 96 x$ terhadap $x$ adalah $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \frac{d}{d x} x$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96 \cdot 1$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 96$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 96$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{2} - 96$ .

$24 x^{2} - 96$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{2} - 96 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$24 x^{2} - 96 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $96$ ke kedua sisi persamaan.

$24 x^{2} = 96$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $24 x^{2} = 96$ dengan $24$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $24 x^{2} = 96$ dengan $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{96}{24}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{96}{24}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $96$ dengan $24$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = 2 {({(2)}^{2} - 12)}^{2}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Langkah 3.1.2.2

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$f (2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Langkah 3.1.2.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 2 \cdot 64$

Langkah 3.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$f (2) = 128$

Langkah 3.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $128$ .

$128$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ adalah $(2, 128)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, 128)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = 2 {({(- 2)}^{2} - 12)}^{2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 2 {(4 - 12)}^{2}$

Langkah 3.3.2.2

Kurangi $12$ dengan $4$ .

$f (- 2) = 2 {(- 8)}^{2}$

Langkah 3.3.2.3

Naikkan $- 8$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 64$

Langkah 3.3.2.4

Kalikan $2$ dengan $64$ .

$f (- 2) = 128$

Langkah 3.3.2.5

Jawaban akhirnya adalah $128$ .

$128$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = 2 {(x^{2} - 12)}^{2}$ adalah $(- 2, 128)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, 128)$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(2, 128), (- 2, 128)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = 24 {(- 2.1)}^{2} - 96$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = 105.84 - 96$

Langkah 5.2.2

Kurangi $96$ dengan $105.84$ .

$f'' (- 2.1) = 9.84$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9.84$ .

$9.84$

Langkah 5.3

Pada $- 2.1$ , turunan keduanya adalah $9.84$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 24 {(0)}^{2} - 96$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 24 \cdot 0 - 96$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 96$

Langkah 6.2.2

Kurangi $96$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 96$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 96$ .

$- 96$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 96$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 2, 2)$

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.1) = 24 {(2.1)}^{2} - 96$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2.1) = 24 \cdot 4.41 - 96$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $4.41$ .

$f'' (2.1) = 105.84 - 96$

Langkah 7.2.2

Kurangi $96$ dengan $105.84$ .

$f'' (2.1) = 9.84$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $9.84$ .

$9.84$

Langkah 7.3

Pada $2.1$ , turunan keduanya adalah $9.84$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 2, 128), (2, 128)$ .

$(- 2, 128), (2, 128)$

Langkah 9