Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{8} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{8}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{8} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{8} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{8} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{8}$ .

$\frac{4}{8} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{8}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{8} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{2} - 3 (2 x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{2} - 6 x$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{2} - 6 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 \cdot 1$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 x^{2}}{2} - 6$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} - 6 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Langkah 3.3

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4.1.1.3.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Langkah 3.4.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Langkah 3.4.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Langkah 3.4.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 3.5

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 3.6

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 3.6.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 3.7

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 3.7.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 3.7.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(2)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.2.1

Faktorkan $8$ dari $16$ .

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(2)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(2)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (2) = 2 - 3 {(2)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (2) = 2 - 3 \cdot 4$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f (2) = 2 - 12$

Langkah 4.1.2.2

Kurangi $12$ dengan $2$ .

$f (2) = - 10$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10$ .

$- 10$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ adalah $(2, - 10)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, - 10)$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot {(- 2)}^{4} - 3 {(- 2)}^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot 16 - 3 {(- 2)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.2.1

Faktorkan $8$ dari $16$ .

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 (2)) - 3 {(- 2)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 2) = \frac{1}{8} \cdot (8 \cdot 2) - 3 {(- 2)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 2) = 2 - 3 {(- 2)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = 2 - 3 \cdot 4$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $4$ .

$f (- 2) = 2 - 12$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $12$ dengan $2$ .

$f (- 2) = - 10$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 10$ .

$- 10$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - 3 x^{2}$ adalah $(- 2, - 10)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, - 10)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(2, - 10), (- 2, - 10)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = \frac{3 {(- 2.1)}^{2}}{2} - 6$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4.41$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Langkah 6.2.1.3

Bagilah $13.23$ dengan $2$ .

$f'' (- 2.1) = 6.615 - 6$

Langkah 6.2.2

Kurangi $6$ dengan $6.615$ .

$f'' (- 2.1) = 0.615$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.615$ .

$0.615$

Langkah 6.3

Pada $- 2.1$ , turunan keduanya adalah $0.615$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{3 {(0)}^{2}}{2} - 6$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 0}{2} - 6$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0}{2} - 6$

Langkah 7.2.1.3

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Langkah 7.2.2

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 7.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 2, 2)$

Menurun pada $(- 2, 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.1) = \frac{3 {(2.1)}^{2}}{2} - 6$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2.1) = \frac{3 \cdot 4.41}{2} - 6$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $4.41$ .

$f'' (2.1) = \frac{13.23}{2} - 6$

Langkah 8.2.1.3

Bagilah $13.23$ dengan $2$ .

$f'' (2.1) = 6.615 - 6$

Langkah 8.2.2

Kurangi $6$ dengan $6.615$ .

$f'' (2.1) = 0.615$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.615$ .

$0.615$

Langkah 8.3

Pada $2.1$ , turunan keduanya adalah $0.615$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 2, - 10), (2, - 10)$ .

$(- 2, - 10), (2, - 10)$

Langkah 10