Kalkulus Contoh

$y = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{3}{x^{2} - 9}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{3}{x^{2} - 9}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3}{x^{2} - 9}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 9}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} - 9})$

Langkah 2.1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} - 9}$ sebagai ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 9)}^{- 1})$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 9$ .

$f' (x) = 3 (- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))$

Langkah 2.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))$

Langkah 2.1.3.4

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 2.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.5.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 2.1.3.5.2

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = - 6 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 6 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}} \cdot x$

Langkah 2.1.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 6}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 2.1.5.4

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{6 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} - 9)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 2.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan ${(x^{2} - 9)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} - 9)}^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} - 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 9$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - x (2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{{(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2

Faktorkan $x^{2} - 9$ dari ${(x^{2} - 9)}^{2} - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $x^{2} - 9$ dari ${(x^{2} - 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) - 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2.2

Faktorkan $x^{2} - 9$ dari $- 2 x ((x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9])$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.5.2.3

Faktorkan $x^{2} - 9$ dari $(x^{2} - 9) (x^{2} - 9) + (x^{2} - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]))$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{{(x^{2} - 9)}^{4}}$

Langkah 2.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Faktorkan $x^{2} - 9$ dari ${(x^{2} - 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 6 \frac{(x^{2} - 9) (x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9)))}{(x^{2} - 9) {(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} - 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (- 9))}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.9

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{x^{2} - 9 - 4 x^{2}}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.16

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{- 3 x^{2} - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 6 (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.17

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{(6) (- 3 x^{2} - 9)}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.18.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{6 (- 3 x^{2}) + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.18.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.18.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $6$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} + 6 \cdot - 9}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.2.18.2.2

Kalikan $6$ dengan $- 9$ .

$f'' (x) = - \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{- 18 x^{2} - 54}{{(x^{2} - 9)}^{3}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 18 x^{2} - 54 = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $54$ ke kedua sisi persamaan.

$- 18 x^{2} = 54$

Langkah 3.3.2

Bagi setiap suku pada $- 18 x^{2} = 54$ dengan $- 18$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 18 x^{2} = 54$ dengan $- 18$ .

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Langkah 3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 18$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 18 x^{2}}{- 18} = \frac{54}{- 18}$

Langkah 3.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 18}$

Langkah 3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Bagilah $54$ dengan $- 18$ .

$x^{2} = - 3$

Langkah 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Langkah 3.3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Langkah 3.3.4.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Langkah 3.3.4.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Langkah 3.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{3}$

Langkah 3.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{3}$

Langkah 3.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 4

Tidak ada nilai yang ditemukan yang dapat membuat turunan keduanya sama dengan $0$ .

Tidak Ada Titik Belok