Kalkulus Contoh

${(\frac{t^{3}}{t^{6} + 3})}^{2}$

Langkah 1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = t^{2}$ dan $g (t) = \frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Langkah 1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$2 \frac{t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Langkah 2

Gabungkan $2$ dan $\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \frac{d}{d t} [\frac{t^{3}}{t^{6} + 3}]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ adalah $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ di mana $f (t) = t^{3}$ dan $g (t) = t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) \frac{d}{d t} [t^{3}] - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{(t^{6} + 3) (3 t^{2}) - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $t^{6} + 3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} \frac{d}{d t} [t^{6} + 3]}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{6} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + \frac{d}{d t} [3])}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.5

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5} + 0)}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Tambahkan $6 t^{5}$ dan $0$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - t^{3} (6 t^{5})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 4.6.2

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{3} t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 5

Kalikan $t^{3}$ dengan $t^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan $t^{5}$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 (t^{5} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{5 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.3

Tambahkan $5$ dan $3$ .

$\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3} \cdot \frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 6

Kalikan $\frac{2 t^{3}}{t^{6} + 3}$ dengan $\frac{3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{(t^{6} + 3) {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 7

Kalikan $t^{6} + 3$ dengan ${(t^{6} + 3)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $t^{6} + 3$ dengan ${(t^{6} + 3)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Naikkan $t^{6} + 3$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1} {(t^{6} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{1 + 2}}$

Langkah 7.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 t^{3} (3 (t^{6} + 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{3} ((3 t^{6} + 3 \cdot 3) t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2} + 3 \cdot 3 t^{2} - 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 t^{3} (3 t^{6} t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Kalikan $t^{3}$ dengan $t^{6}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Pindahkan $t^{6}$ .

$\frac{2 (t^{6} t^{3}) (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 t^{6 + 3} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.1.3

Tambahkan $6$ dan $3$ .

$\frac{2 t^{9} (3 t^{2}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 \cdot 3 t^{9} t^{2} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.3

Kalikan $t^{9}$ dengan $t^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.3.1

Pindahkan $t^{2}$ .

$\frac{2 \cdot 3 (t^{2} t^{9}) + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 \cdot 3 t^{2 + 9} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $9$ .

$\frac{2 \cdot 3 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 t^{3} (3 \cdot 3 t^{2}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{3} t^{2} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.6

Kalikan $t^{3}$ dengan $t^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.6.1

Pindahkan $t^{2}$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 (t^{2} t^{3}) + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.6.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{2 + 3} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.6.3

Tambahkan $2$ dan $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 2 \cdot 3 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.7

Kalikan $2 \cdot 3 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.7.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 6 \cdot 3 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.7.2

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 t^{3} (- 6 t^{8})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{3} t^{8}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.9

Kalikan $t^{3}$ dengan $t^{8}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.9.1

Pindahkan $t^{8}$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 (t^{8} t^{3})}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.9.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{8 + 3}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.9.3

Tambahkan $8$ dan $3$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} + 2 \cdot - 6 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.1.10

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$\frac{6 t^{11} + 18 t^{5} - 12 t^{11}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.4.2

Kurangi $12 t^{11}$ dengan $6 t^{11}$ .

$\frac{- 6 t^{11} + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.5

Faktorkan $6 t^{5}$ dari $- 6 t^{11} + 18 t^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Faktorkan $6 t^{5}$ dari $- 6 t^{11}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 18 t^{5}}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.5.2

Faktorkan $6 t^{5}$ dari $18 t^{5}$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.5.3

Faktorkan $6 t^{5}$ dari $6 t^{5} (- t^{6}) + 6 t^{5} (3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- t^{6} + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.6

Faktorkan $- 1$ dari $- t^{6}$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) + 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.7

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6}) - 1 (- 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (t^{6}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.9

Tulis kembali $- (t^{6} - 3)$ sebagai $- 1 (t^{6} - 3)$ .

$\frac{6 t^{5} (- 1 (t^{6} - 3))}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$

Langkah 8.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{(6 t^{5}) (t^{6} - 3)}{{(t^{6} + 3)}^{3}}$