Kalkulus Contoh

$f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x^{6} - 11 x^{5}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x^{6}$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 6$ .

$f' (x) = 7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $6$ dengan $7$ .

$f' (x) = 42 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 11 x^{5})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 11 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 11$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 11 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- 11 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 \frac{d}{d x} x^{5}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 11 (5 x^{4})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 11$ .

$f' (x) = 42 x^{5} - 55 x^{4}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $42 x^{5} - 55 x^{4}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (42 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $42$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $42 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 42 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f'' (x) = 42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $5$ dengan $42$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 55 x^{4})$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 55 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 55$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 55 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 55 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 \frac{d}{d x} x^{4}$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 55 (4 x^{3})$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $- 55$ .

$f'' (x) = 210 x^{4} - 220 x^{3}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$210 x^{4} - 220 x^{3} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $210 x^{4} - 220 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $210 x^{4}$ .

$10 x^{3} (21 x) - 220 x^{3} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $- 220 x^{3}$ .

$10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $10 x^{3}$ dari $10 x^{3} (21 x) + 10 x^{3} (- 22)$ .

$10 x^{3} (21 x - 22) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

$21 x - 22 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{3}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{3}$ sama dengan $0$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $21 x - 22$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $21 x - 22$ sama dengan $0$ .

$21 x - 22 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $21 x - 22 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $22$ ke kedua sisi persamaan.

$21 x = 22$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $21 x = 22$ dengan $21$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $21 x = 22$ dengan $21$ .

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{21 x}{21} = \frac{22}{21}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{22}{21}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $10 x^{3} (21 x - 22) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{22}{21}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 7 {(0)}^{6} - 11 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 7 \cdot 0 - 11 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 - 11 {(0)}^{5}$

Langkah 3.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - 11 \cdot 0$

Langkah 3.1.2.1.4

Kalikan $- 11$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $\frac{22}{21}$ dalam $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{22}{21}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{22}{21}) = 7 {(\frac{22}{21})}^{6} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{22^{6}}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.2

Naikkan $22$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{21^{6}}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.3

Naikkan $21$ menjadi pangkat $6$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{85766121}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.4.1

Faktorkan $7$ dari $85766121$ .

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 (12252303)}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{22}{21}) = 7 (\frac{113379904}{7 \cdot 12252303}) - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 {(\frac{22}{21})}^{5}$

Langkah 3.3.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{22}{21}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{22^{5}}{21^{5}}$

Langkah 3.3.2.1.6

Naikkan $22$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 \frac{5153632}{21^{5}}$

Langkah 3.3.2.1.7

Naikkan $21$ menjadi pangkat $5$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - 11 (\frac{5153632}{4084101})$

Langkah 3.3.2.1.8

Kalikan $- 11 (\frac{5153632}{4084101})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.8.1

Gabungkan $- 11$ dan $\frac{5153632}{4084101}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 11 \cdot 5153632}{4084101}$

Langkah 3.3.2.1.8.2

Kalikan $- 11$ dengan $5153632$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} + \frac{- 56689952}{4084101}$

Langkah 3.3.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101}$

Langkah 3.3.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{56689952}{4084101}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952}{4084101} \cdot \frac{3}{3}$

Langkah 3.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12252303$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.3.1

Kalikan $\frac{56689952}{4084101}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{4084101 \cdot 3}$

Langkah 3.3.2.3.2

Kalikan $4084101$ dengan $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904}{12252303} - \frac{56689952 \cdot 3}{12252303}$

Langkah 3.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 56689952 \cdot 3}{12252303}$

Langkah 3.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.5.1

Kalikan $- 56689952$ dengan $3$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{113379904 - 170069856}{12252303}$

Langkah 3.3.2.5.2

Kurangi $170069856$ dengan $113379904$ .

$f (\frac{22}{21}) = \frac{- 56689952}{12252303}$

Langkah 3.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{22}{21}) = - \frac{56689952}{12252303}$

Langkah 3.3.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{56689952}{12252303}$ .

$- \frac{56689952}{12252303}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{22}{21}$ dalam $f (x) = 7 x^{6} - 11 x^{5}$ adalah $(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22}{21}) \cup (\frac{22}{21}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 210 {(- 0.1)}^{4} - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.1) = 210 \cdot 0.0001 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $210$ dengan $0.0001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 {(- 0.1)}^{3}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 - 220 \cdot - 0.001$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 220$ dengan $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = 0.021 + 0.22$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $0.021$ dan $0.22$ .

$f'' (- 0.1) = 0.241$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.241$ .

$0.241$

Langkah 5.3

Pada $- 0.1$ , turunan keduanya adalah $0.241$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{22}{21})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.\overline{523809}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 {(0.\overline{523809})}^{4} - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.\overline{523809}$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 210 \cdot 0.07528241 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $210$ dengan $0.07528241$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 {(0.\overline{523809})}^{3}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $0.\overline{523809}$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 220 \cdot 0.14372098$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 220$ dengan $0.14372098$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = 15.80930785 - 31.6186157$

Langkah 6.2.2

Kurangi $31.6186157$ dengan $15.80930785$ .

$f'' (0.\overline{523809}) = - 15.80930785$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 15.80930785$ .

$- 15.80930785$

Langkah 6.3

Pada $0.\overline{523809}$ , turunan kedua adalah $- 15.80930785$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(0, \frac{22}{21})$

Menurun pada $(0, \frac{22}{21})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{22}{21}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1\overline{476190}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 {(1.1\overline{476190})}^{4} - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.1\overline{476190}$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 210 \cdot 1.73456664 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $210$ dengan $1.73456664$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 {(1.1\overline{476190})}^{3}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $1.1\overline{476190}$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 220 \cdot 1.51144811$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- 220$ dengan $1.51144811$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 364.25899589 - 332.51858546$

Langkah 7.2.2

Kurangi $332.51858546$ dengan $364.25899589$ .

$f'' (1.1\overline{476190}) = 31.74041043$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $31.74041043$ .

$31.74041043$

Langkah 7.3

Pada $1.1\overline{476190}$ , turunan keduanya adalah $31.74041043$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{22}{21}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{22}{21}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$ .

$(0, 0), (\frac{22}{21}, - \frac{56689952}{12252303})$

Langkah 9