Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 12$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 7)$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $18 x^{2} - 24 x + 6$ dan $0$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 24 x + 6$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $18 x^{2} - 24 x + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $18 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $18$ .

$f'' (x) = 36 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 + \frac{d}{d x} (6)$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 36 x - 24 + 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $36 x - 24$ dan $0$ .

$f'' (x) = 36 x - 24$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $36 x - 24$ .

$36 x - 24$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $36 x - 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$36 x - 24 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $24$ ke kedua sisi persamaan.

$36 x = 24$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $36 x = 24$ dengan $36$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $36 x = 24$ dengan $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{24}{36}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{36 x}{36} = \frac{24}{36}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{24}{36}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Faktorkan $12$ dari $24$ .

$x = \frac{12 (2)}{36}$

Langkah 2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.2.1

Faktorkan $12$ dari $36$ .

$x = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{12 \cdot 2}{12 \cdot 3}$

Langkah 2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{2}{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{2}{3}) = 6 {(\frac{2}{3})}^{3} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{3^{3}}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{27}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.4.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (2) (\frac{8}{27}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.4.2

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2}{3}) = 2 (\frac{8}{9}) - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{8}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 8}{9} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $8$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 {(\frac{2}{3})}^{2} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 \frac{4}{3^{2}} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.9

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 12 (\frac{4}{9}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.10

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.10.1

Faktorkan $3$ dari $- 12$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 (- 4) (\frac{4}{9}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.10.2

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 4 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.10.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 4 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.10.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 4 (\frac{4}{3}) + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.11

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 4 \cdot 4}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.12

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 16}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 6 (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.14.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 3 (2) (\frac{2}{3}) - 7$

Langkah 3.1.2.1.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 3 \cdot (2 (\frac{2}{3})) - 7$

Langkah 3.1.2.1.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 2 \cdot 2 - 7$

Langkah 3.1.2.1.15

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16}{3} + 4 - 7$

Langkah 3.1.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Kalikan $\frac{16}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - (\frac{16}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4 - 7$

Langkah 3.1.2.2.2

Kalikan $\frac{16}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 - 7$

Langkah 3.1.2.2.3

Tulis $4$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} - 7$

Langkah 3.1.2.2.4

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} - 7$

Langkah 3.1.2.2.5

Kalikan $\frac{4}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} - 7$

Langkah 3.1.2.2.6

Tulis $- 7$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7}{1}$

Langkah 3.1.2.2.7

Kalikan $\frac{- 7}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Langkah 3.1.2.2.8

Kalikan $\frac{- 7}{1}$ dengan $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.2.9

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{16 \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{- 7 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 16 \cdot 3 + 4 \cdot 9 - 7 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Kalikan $- 16$ dengan $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 4 \cdot 9 - 7 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.4.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 36 - 7 \cdot 9}{9}$

Langkah 3.1.2.4.3

Kalikan $- 7$ dengan $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 48 + 36 - 63}{9}$

Langkah 3.1.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.5.1

Kurangi $48$ dengan $16$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 32 + 36 - 63}{9}$

Langkah 3.1.2.5.2

Tambahkan $- 32$ dan $36$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4 - 63}{9}$

Langkah 3.1.2.5.3

Kurangi $63$ dengan $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 59}{9}$

Langkah 3.1.2.5.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{59}{9}$

Langkah 3.1.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{59}{9}$ .

$- \frac{59}{9}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{2}{3}$ dalam $f (x) = 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 7$ adalah $(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{2}{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.5\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.5\overline{6}) = 36 (0.5\overline{6}) - 24$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $36$ dengan $0.5\overline{6}$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = 20.4 - 24$

Langkah 5.2.2

Kurangi $24$ dengan $20.4$ .

$f'' (0.5\overline{6}) = - 3.6$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.6$ .

$- 3.6$

Langkah 5.3

Pada $0.5\overline{6}$ , turunan kedua adalah $- 3.6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{2}{3})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{2}{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.7\overline{6}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 (0.7\overline{6}) - 24$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $36$ dengan $0.7\overline{6}$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 27.6 - 24$

Langkah 6.2.2

Kurangi $24$ dengan $27.6$ .

$f'' (0.7\overline{6}) = 3.6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3.6$ .

$3.6$

Langkah 6.3

Pada $0.7\overline{6}$ , turunan keduanya adalah $3.6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{2}{3}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$ .

$(\frac{2}{3}, - \frac{59}{9})$

Langkah 8