Kalkulus Contoh

$y = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $16 x$ terhadap $x$ adalah $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $16$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 16$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 16$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 12 x^{2} + 16 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3} - 12 x^{2} + 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 12 x^{2} + 16 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 12 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 3 x^{2}) + 16 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3} + 4 (- 3 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{3} - 3 x^{2}) + 4 \cdot 4$ .

$4 (x^{3} - 3 x^{2} + 4) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 2.2.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Langkah 2.2.2.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

${(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Langkah 2.2.2.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 - 3 {(- 1)}^{2} + 4$

Langkah 2.2.2.3.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$- 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Langkah 2.2.2.3.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 1 - 3 + 4$

Langkah 2.2.2.3.5

Kurangi $3$ dengan $- 1$ .

$- 4 + 4$

Langkah 2.2.2.3.6

Tambahkan $- 4$ dan $4$ .

$0$

Langkah 2.2.2.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} + 4}{x + 1}$

Langkah 2.2.2.5

Bagilah $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$4$

Langkah 2.2.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$

Langkah 2.2.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 2.2.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 2.2.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

Langkah 2.2.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 2.2.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 4 x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

Langkah 2.2.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Langkah 2.2.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 4 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$

Langkah 2.2.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Langkah 2.2.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Langkah 2.2.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $4 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$

Langkah 2.2.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							+	$4 x$	+	$4$

Langkah 2.2.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $4 x + 4$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$

Langkah 2.2.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$0 x$	+	$4$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$4$
							-	$4 x$	-	$4$
										$0$

Langkah 2.2.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - 4 x + 4$

Langkah 2.2.2.6

Tulis $x^{3} - 3 x^{2} + 4$ sebagai himpunan faktor.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$4 ((x + 1) (x^{2} - 4 x + 2^{2})) = 0$

Langkah 2.2.3.1.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 2.2.3.1.3

Tulis kembali polinomialnya.

$4 ((x + 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Langkah 2.2.3.1.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$4 ((x + 1) {(x - 2)}^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 2.4

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.5

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.5.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 (x + 1) {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 1, 2$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

${(- 1)}^{4} - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$1 - 4 {(- 1)}^{3} + 16 (- 1) - 16$

Langkah 4.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$1 - 4 \cdot - 1 + 16 (- 1) - 16$

Langkah 4.1.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$1 + 4 + 16 (- 1) - 16$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $16$ dengan $- 1$ .

$1 + 4 - 16 - 16$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$5 - 16 - 16$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $16$ dengan $5$ .

$- 11 - 16$

Langkah 4.1.2.2.3

Kurangi $16$ dengan $- 11$ .

$- 27$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

${(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$16 - 4 {(2)}^{3} + 16 (2) - 16$

Langkah 4.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$16 - 4 \cdot 8 + 16 (2) - 16$

Langkah 4.2.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $8$ .

$16 - 32 + 16 (2) - 16$

Langkah 4.2.2.1.4

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$16 - 32 + 32 - 16$

Langkah 4.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Kurangi $32$ dengan $16$ .

$- 16 + 32 - 16$

Langkah 4.2.2.2.2

Tambahkan $- 16$ dan $32$ .

$16 - 16$

Langkah 4.2.2.2.3

Kurangi $16$ dengan $16$ .

$0$

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, - 27), (2, 0)$

Langkah 5