Kalkulus Contoh

$y = 2 x - \tan (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \tan (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Langkah 1.1.3.2

Turunan dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 2 - \sec^{2} (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 - \sec^{2} (x)$ .

$2 - \sec^{2} (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 - \sec^{2} (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 - \sec^{2} (x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \sec^{2} (x) = - 2$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- \sec^{2} (x) = - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- \sec^{2} (x) = - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \sec^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\sec^{2} (x)}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.3.2.2

Bagilah $\sec^{2} (x)$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 1$ .

$\sec^{2} (x) = 2$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Langkah 2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Langkah 2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Langkah 2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Langkah 2.6

Tulis setiap penyelesaian untuk menyelesaikan $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Langkah 2.7

Selesaikan $x$ dalam $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Ambil sekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sekan.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Langkah 2.7.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.2.1

Nilai eksak dari $arcsec (\sqrt{2})$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 2.7.3

Fungsi sekan positif di kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran keempat.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Langkah 2.7.4

Sederhanakan $2 π - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.7.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Langkah 2.7.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Langkah 2.7.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.4.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Langkah 2.7.4.3.2

Kurangi $π$ dengan $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Langkah 2.7.5

Tentukan periode dari $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.7.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.7.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.7.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.7.6

Periode dari fungsi $\sec (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.8

Selesaikan $x$ dalam $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Ambil sekan balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sekan.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Nilai eksak dari $arcsec (- \sqrt{2})$ adalah $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.8.3

Fungsi sekan negatif di kuadran kedua dan ketiga. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menghitung penyelesaian di kuadran ketiga.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.8.4

Sederhanakan $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.8.4.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.2.1

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Langkah 2.8.4.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Langkah 2.8.4.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.4.3.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Langkah 2.8.4.3.2

Kurangi $3 π$ dengan $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 2.8.5

Tentukan periode dari $\sec (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.8.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.8.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.8.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.8.6

Periode dari fungsi $\sec (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.9

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.10

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\sec (x)$ agar sama dengan $\frac{π}{2} + π n$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 4

Evaluasi $2 x - \tan (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{π}{2 (2)} - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2.2

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{π}{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \frac{3 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\frac{3 π}{4}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{3 π}{4}) - \tan (\frac{3 π}{4})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{3 π}{2 (2)} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Langkah 4.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{3 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Langkah 4.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 π}{2} - \tan (\frac{3 π}{4})$

Langkah 4.2.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran kedua.

$\frac{3 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.2.2.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{3 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 4.2.2.4

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{3 π}{2} - - 1$

Langkah 4.2.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 π}{2} + 1$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = \frac{5 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{5 π}{4}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{5 π}{4}) - \tan (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{5 π}{2 (2)} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{5 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.3.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama.

$\frac{5 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.3.2.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 4.3.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{5 π}{2} - 1$

Langkah 4.4

Evaluasi pada $x = \frac{7 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Substitusikan $\frac{7 π}{4}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{7 π}{4}) - \tan (\frac{7 π}{4})$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{7 π}{2 (2)} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Langkah 4.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{7 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Langkah 4.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{7 π}{2} - \tan (\frac{7 π}{4})$

Langkah 4.4.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena tangen negatif di kuadran keempat.

$\frac{7 π}{2} - - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.4.2.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{7 π}{2} - (- 1 \cdot 1)$

Langkah 4.4.2.4

Kalikan $- (- 1 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{7 π}{2} - - 1$

Langkah 4.4.2.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{7 π}{2} + 1$

Langkah 4.5

Evaluasi pada $x = \frac{9 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Substitusikan $\frac{9 π}{4}$ untuk $x$ .

$2 (\frac{9 π}{4}) - \tan (\frac{9 π}{4})$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$2 \frac{9 π}{2 (2)} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Langkah 4.5.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{9 π}{2 \cdot 2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Langkah 4.5.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{9 π}{4})$

Langkah 4.5.2.2

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$\frac{9 π}{2} - \tan (\frac{π}{4})$

Langkah 4.5.2.3

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{4})$ adalah $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 4.5.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{9 π}{2} - 1$

Langkah 4.6

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{2} - 1), (\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2} + 1), (\frac{5 π}{4}, \frac{5 π}{2} - 1), (\frac{7 π}{4}, \frac{7 π}{2} + 1), (\frac{9 π}{4}, \frac{9 π}{2} - 1)$

Langkah 5