Kalkulus Contoh

$y = x \ln (x + 3)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x + 3)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x + 3)] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$x (\frac{1}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{x + 3}$ dan $x$ .

$\frac{x}{x + 3} \frac{d}{d x} [x + 3] + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x}{x + 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x}{x + 3} (1 + 0) + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x}{x + 3} \cdot 1 + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.5.2

Kalikan $\frac{x}{x + 3}$ dengan $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.7

Kalikan $\ln (x + 3)$ dengan $1$ .

$\frac{x}{x + 3} + \ln (x + 3)$

Langkah 1.1.4

Untuk menuliskan $\ln (x + 3)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x}{x + 3} + \frac{\ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{x + \ln (x + 3) (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln (x + 3) \cdot 3}{x + 3}$

Langkah 1.1.6.1.1.2

Kalikan $\ln (x + 3) \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1.1.2.1

Susun kembali $\ln (x + 3)$ dan $3$ .

$\frac{x + \ln (x + 3) x + 3 \cdot \ln (x + 3)}{x + 3}$

Langkah 1.1.6.1.1.2.2

Sederhanakan $3 \cdot \ln (x + 3)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Langkah 1.1.6.1.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $x + \ln (x + 3) x + \ln ({(x + 3)}^{3})$ .

$\frac{x + x \ln (x + 3) + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Langkah 1.1.6.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3} = 0$

Langkah 2.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 1.14544928$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{x \ln (x + 3) + x + \ln ({(x + 3)}^{3})}{x + 3}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 3 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 3.3

Atur argumen dalam $\ln (x + 3)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 3 \leq 0$

Langkah 3.4

Kurangkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \leq - 3$

Langkah 3.5

Atur argumen dalam $\ln ({(x + 3)}^{3})$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 3)}^{3} \leq 0$

Langkah 3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[3]{{(x + 3)}^{3}} \leq \sqrt[3]{0}$

Langkah 3.6.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0}$

Langkah 3.6.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x + 3 \leq \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 3.6.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x + 3 \leq 0$

Langkah 3.6.3

Kurangkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \leq - 3$

Langkah 3.7

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Langkah 4

Evaluasi $x \ln (x + 3)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - 1.14544928$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- 1.14544928$ untuk $x$ .

$(- 1.14544928) \ln ((- 1.14544928) + 3)$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tambahkan $- 1.14544928$ dan $3$ .

$- 1.14544928 \ln (1.85455071)$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan $- 1.14544928 \ln (1.85455071)$ dengan memindahkan $1.14544928$ ke dalam logaritma.

$- \ln ({1.85455071}^{1.14544928})$

Langkah 4.1.2.3

Naikkan $1.85455071$ menjadi pangkat $1.14544928$ .

$- \ln (2.02886823)$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $- 3$ untuk $x$ .

$(- 3) \ln ((- 3) + 3)$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $3$ .

$- 3 \ln (0)$

Langkah 4.2.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1.14544928, - \ln (2.02886823))$

Langkah 5