Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = - 1$ dan $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.2

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$2 x - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 1.1.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.6

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$2 x - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.8

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 x - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.9

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.10

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$2 x - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.11

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Langkah 1.1.2.12

Kalikan $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3} + 0$

Langkah 1.1.2.13

Tambahkan $2 x^{- 3}$ dan $0$ .

$2 x + 2 x^{- 3}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.1.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x + \frac{2}{x^{3}}$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$

Langkah 2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x^{3}, 1$

Langkah 2.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{3}$

Langkah 2.3

Kalikan setiap suku pada $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ .

$2 x \cdot x^{3} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$2 (x^{3} x) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2.1.1.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 (x^{3} x^{1}) + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 x^{3 + 1} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2.1.1.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 x^{4} + \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 x^{4} + 2 = 0 x^{3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x^{3}$ .

$2 x^{4} + 2 = 0$

Langkah 2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x^{4} = - 2$

Langkah 2.4.2

Bagi setiap suku pada $2 x^{4} = - 2$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x^{4} = - 2$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{4}}{2} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.4.2.2.1.2

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} = \frac{- 2}{2}$

Langkah 2.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $2$ .

$x^{4} = - 1$

Langkah 2.4.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 2.4.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 2.4.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 2.4.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt[4]{- 1}, - \sqrt[4]{- 1}$

Langkah 2.5

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $2 x + \frac{2}{x^{3}} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{2}{x^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 4.2.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = 2 (- 1) + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 2 + \frac{2}{- 1}$

Langkah 6.2.1.3

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 2 - 2$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 2$ .

$f' (- 1) = - 4$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 4$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 2 (1) + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = 2 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 2 + \frac{2}{1}$

Langkah 7.2.1.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = 2 + 2$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$f' (1) = 4$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$4$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $4$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 9