Kalkulus Contoh

$f (x) = - \sqrt{x + 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 3$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - (\frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = - (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 3))$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (3))$

Langkah 1.1.10

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)$

Langkah 1.1.11

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.11.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.11.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(x + 3)}^{1}}}$

Langkah 4.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$- \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$

Langkah 4.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 \sqrt{x + 3} = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menghapus akar pada sisi kiri persamaan, kuadratkan kedua sisi persamaan.

${(2 \sqrt{x + 3})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 3}$ sebagai ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan ${(2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$4 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$4 {(x + 3)}^{1} = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$4 (x + 3) = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$4 x + 4 \cdot 3 = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.2.1.6

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$4 x + 12 = 0^{2}$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$4 x + 12 = 0$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 12$

Langkah 4.3.3.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 12$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 12$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Langkah 4.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 12}{4}$

Langkah 4.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 12}{4}$

Langkah 4.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $4$ .

$x = - 3$

Langkah 4.4

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 3}$ agar lebih kecil dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 3 < 0$

Langkah 4.5

Kurangkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x < - 3$

Langkah 4.6

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

$x \leq - 3$

$(- \infty, - 3]$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = - \sqrt{x + 3}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {((- 4) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Langkah 6.2.1.3

Evaluasi eksponennya.

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

Langkah 6.2.1.4

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$f' (- 4) = - \frac{1}{2 i}$

Langkah 6.2.2

Kalikan pembilang dan penyebut dari $\frac{1}{2 i}$ dengan konjugat $2 i$ untuk membuat penyebutnya riil.

$f' (- 4) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

Langkah 6.2.3

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Gabungkan.

$f' (- 4) = - \frac{1 i}{2 i i}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $i$ dengan $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i i}$

Langkah 6.2.3.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.3.1

Tambahkan tanda kurung.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 6.2.3.3.2

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 6.2.3.3.3

Naikkan $i$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 (i i)}$

Langkah 6.2.3.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

Langkah 6.2.3.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

Langkah 6.2.3.3.6

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 4) = - \frac{i}{- 2}$

Langkah 6.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 4) = \frac{i}{2}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{i}{2}$ .

$\frac{i}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 4$ turunannya adalah $\frac{i}{2}$ . Karena ini memuat sebuah bilangan imajiner, fungsinya tidak ada pada $(- \infty, - 3)$ .

Fungsi tidak riil pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x)$ imajiner

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 {((- 2) + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

Langkah 7.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{1}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 3, \infty)$ .

Menurun pada $(- 3, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- 3, \infty)$

Langkah 9