Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 5}$ sebagai ${(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 5$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 5)$

Langkah 1.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 5$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (5))$

Langkah 1.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (5))$

Langkah 1.1.10

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

Langkah 1.1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

Langkah 1.1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Langkah 1.1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \sqrt{x^{2} + 5}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $5$ .

$f' (1) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 8