Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 9$ dan $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 9) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 9)) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 4) x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - (x^{2} - 9) (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 (x^{2} - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 9) x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 9 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.1

Kurangi $2 x^{2} x$ dengan $2 x^{2} x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) + 0 - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2

Tambahkan $2 \cdot - 4 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (- 4 x) - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x - 2 \cdot (- 9 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x + 18 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.3

Tambahkan $- 8 x$ dan $18 x$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = \frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$10 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $10 x = 0$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $10 x = 0$ dengan $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x}{10} = \frac{0}{10}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{10}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $10$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{10 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2

Atur ${(x + 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Atur ${(x + 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2.2

Selesaikan ${(x + 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.2.3

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 4.2.3.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 2, 2$

Langkah 4.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = \frac{10 (- 3)}{{((- 3) + 2)}^{2} {((- 3) - 2)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $10$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 3 + 2)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 3 - 2)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{{(- 1)}^{2} {(- 5)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 {(- 5)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.4

Naikkan $- 5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{1 \cdot 25}$

Langkah 6.2.2.5

Kalikan $25$ dengan $1$ .

$f' (- 3) = \frac{- 30}{25}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 30$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 30$ .

$f' (- 3) = \frac{5 (- 6)}{25}$

Langkah 6.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 3) = \frac{5 \cdot - 6}{5 \cdot 5}$

Langkah 6.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 3) = \frac{- 6}{5}$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = - \frac{6}{5}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{6}{5}$ .

$- \frac{6}{5}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- \frac{6}{5}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{10 (- 1)}{{((- 1) + 2)}^{2} {((- 1) - 2)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $10$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{{(- 1 + 2)}^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 1 - 2)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1^{2} {(- 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 {(- 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.4

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{1 \cdot 9}$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 10}{9}$

Langkah 7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{10}{9}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{10}{9}$ .

$- \frac{10}{9}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{10}{9}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 0)$ .

Menurun pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{10 (1)}{{((1) + 2)}^{2} {((1) - 2)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 {(- 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = \frac{10}{9 \cdot 1}$

Langkah 8.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{10}{9}$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10}{9}$ .

$\frac{10}{9}$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{10}{9}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = \frac{10 (3)}{{((3) + 2)}^{2} {((3) - 2)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $10$ dengan $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{{(3 + 2)}^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} {(3 - 2)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f' (3) = \frac{30}{5^{2} \cdot 1^{2}}$

Langkah 9.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1^{2}}$

Langkah 9.2.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (3) = \frac{30}{25 \cdot 1}$

Langkah 9.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Kalikan $25$ dengan $1$ .

$f' (3) = \frac{30}{25}$

Langkah 9.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $30$ dan $25$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $30$ .

$f' (3) = \frac{5 (6)}{25}$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.2.1

Faktorkan $5$ dari $25$ .

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (3) = \frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 5}$

Langkah 9.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (3) = \frac{6}{5}$

Langkah 9.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Langkah 9.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $\frac{6}{5}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 2), (2, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Langkah 11