Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.6

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.6.3

Pindahkan ${(x - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Langkah 1.1.10.2

Kalikan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{1}}}$

Langkah 4.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$

Langkah 4.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x - 1}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x - 1} = 0$

Langkah 4.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x - 1})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x - 1}$ sebagai ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 {(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 {(x - 1)}^{1} = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 (x - 1) = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$27 x + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.2.1.6

Kalikan $27$ dengan $- 1$ .

$27 x - 27 = 0^{3}$

Langkah 4.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x - 27 = 0$

Langkah 4.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Tambahkan $27$ ke kedua sisi persamaan.

$27 x = 27$

Langkah 4.3.3.2

Bagi setiap suku pada $27 x = 27$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.1

Bagilah setiap suku di $27 x = 27$ dengan $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Langkah 4.3.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x}{27} = \frac{27}{27}$

Langkah 4.3.3.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{27}{27}$

Langkah 4.3.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.2.3.1

Bagilah $27$ dengan $27$ .

$x = 1$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{2}{3 {((0) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 6.2.1.3

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (0) = \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}$

Langkah 6.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (0) = \frac{2}{3 (- 1)}$

Langkah 6.2.1.5

Evaluasi eksponennya.

$f' (0) = \frac{2}{3 \cdot - 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (0) = \frac{2}{- 3}$

Langkah 6.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (0) = - \frac{2}{3}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- \frac{2}{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{2}{3 {((2) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (2) = \frac{2}{3 \cdot 1}$

Langkah 7.2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (2) = \frac{2}{3}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $\frac{2}{3}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 1)$

Langkah 9