Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} - 4}$ sebagai ${(x^{2} - 4)}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 4)}^{- 1})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Langkah 1.1.3.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - {(x^{2} - 4)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 1.1.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 2 {(x^{2} - 4)}^{- 2} x$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.5.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.5.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{2 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3

Atur ${(x + 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur ${(x + 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3.2

Selesaikan ${(x + 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 4.2.3.2.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 4.2.4

Atur ${(x - 2)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Atur ${(x - 2)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.4.2

Selesaikan ${(x - 2)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 4.2.4.2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 4.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 2, 2$

Langkah 4.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = - \frac{2 (- 3)}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{({(- 3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{5^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{- 6}{25}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = \frac{6}{25}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{6}{25}$ .

$\frac{6}{25}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $\frac{6}{25}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{{(- 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{- 2}{9}$

Langkah 7.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = \frac{2}{9}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $\frac{2}{9}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2, 0)$ .

Meningkat pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(1^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1 - 4)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{2}{{(- 3)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = - \frac{2}{9}$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Langkah 8.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- \frac{2}{9}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 2)$ .

Menurun pada $(0, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - \frac{2 (3)}{{({(3)}^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(3^{2} - 4)}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{{(9 - 4)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.2

Kurangi $4$ dengan $9$ .

$f' (3) = - \frac{6}{5^{2}}$

Langkah 9.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - \frac{6}{25}$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{6}{25}$ .

$- \frac{6}{25}$

Langkah 9.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- \frac{6}{25}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, \infty)$ .

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (- 2, 0)$

Menurun pada: $(0, 2), (2, \infty)$

Langkah 11