Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 2$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{3} x^{3} - 9 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{3} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 9$ dengan $1$ .

$x^{2} - 9 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} - 9 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $x^{2} - 9$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 9$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} - 9$ .

$x^{2} - 9$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} - 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $9$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 9$

Langkah 2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{9}$

Langkah 2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Langkah 2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 3$

Langkah 2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3$

Langkah 2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3$

Langkah 2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3, - 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $3, - 3$ .

$3, - 3$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = {(- 4)}^{2} - 9$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = 16 - 9$

Langkah 5.2.2

Kurangi $9$ dengan $16$ .

$f' (- 4) = 7$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$7$

Langkah 5.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $7$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = {(0)}^{2} - 9$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = 0 - 9$

Langkah 6.2.2

Kurangi $9$ dengan $0$ .

$f' (0) = - 9$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 9$ .

$- 9$

Langkah 6.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- 9$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 3, 3)$ .

Menurun pada $(- 3, 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = {(4)}^{2} - 9$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = 16 - 9$

Langkah 7.2.2

Kurangi $9$ dengan $16$ .

$f' (4) = 7$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $7$ .

$7$

Langkah 7.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $7$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(3, \infty)$ .

Meningkat pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 3), (3, \infty)$

Menurun pada: $(- 3, 3)$

Langkah 9