Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1 + x^{2}}{1 - x^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1 + x^{2}$ dan $g (x) = 1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (x^{2})) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2}) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(1 - x^{2}) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((1 - x^{2}) x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x - (1 + x^{2}) (- \frac{d}{d x} x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 1 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.10.2

Kalikan $1 + x^{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + (1 + x^{2}) (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.12

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $1 + x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (1 - x^{2}) x + 2 \cdot ((1 + x^{2}) x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x^{2})) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 (1 + x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + (2 \cdot 1 + 2 x^{2}) x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{2}) x + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 (- x^{3}) + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 \cdot (1 x) + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 (x \cdot x^{2})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.5.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x - 2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.2.1

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x + 0}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2.2

Tambahkan $2 x + 2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.3

Tambahkan $2 x$ dan $2 x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.7.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $(1 + x) (1 - x)$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $4 x = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $4 x = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x = 0$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{4 x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

${(1 - x)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2

Atur ${(1 + x)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Atur ${(1 + x)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(1 + x)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2.2

Selesaikan ${(1 + x)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Atur $1 + x$ agar sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 4.2.2.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 4.2.3

Atur ${(1 - x)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur ${(1 - x)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(1 - x)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3.2

Selesaikan ${(1 - x)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Atur $1 - x$ agar sama dengan $0$ .

$1 - x = 0$

Langkah 4.2.3.2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 4.2.3.2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.2.3.2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.2.3.2.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 4.2.3.2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 4.2.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 4.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(1 - 2)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 - (- 2))}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} {(1 + 2)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{{(- 1)}^{2} \cdot 3^{2}}$

Langkah 6.2.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 3^{2}}$

Langkah 6.2.2.5

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{1 \cdot 9}$

Langkah 6.2.2.6

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{9}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 2) = - \frac{8}{9}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{8}{9}$ .

$- \frac{8}{9}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{8}{9}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (- \frac{1}{2}))}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{2 - 1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.3

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{2} {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.5

Kalikan $- - \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + 1 (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Langkah 7.2.3.5.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.6

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 + 1}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.8

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Langkah 7.2.3.9

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.3.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{2^{2}} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.3.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.3.12

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2^{2}}}$

Langkah 7.2.3.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.4.1

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}}$

Langkah 7.2.4.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{9}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Langkah 7.2.4.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{9}{16}}$

Langkah 7.2.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (\frac{16}{9})$

Langkah 7.2.6

Kalikan $- 2 (\frac{16}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.6.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{16}{9}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 16}{9}$

Langkah 7.2.6.2

Kalikan $- 2$ dengan $16$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 32}{9}$

Langkah 7.2.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{32}{9}$

Langkah 7.2.8

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{32}{9}$ .

$- \frac{32}{9}$

Langkah 7.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{32}{9}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1, 0)$ .

Menurun pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - (\frac{1}{2}))}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(1 + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{2 + 1}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{2} {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(1 - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.5

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{2 - 1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.7

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Langkah 8.2.2.8

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.2.2.9

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{2^{2}} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.2.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Langkah 8.2.2.11

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2^{2}}}$

Langkah 8.2.2.12

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Langkah 8.2.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{4}}$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan $\frac{9}{4}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{4 \cdot 4}}$

Langkah 8.2.3.3

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{9}{16}}$

Langkah 8.2.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{16}{9})$

Langkah 8.2.5

Kalikan $2 (\frac{16}{9})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{16}{9}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 16}{9}$

Langkah 8.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $16$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{32}{9}$

Langkah 8.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{32}{9}$ .

$\frac{32}{9}$

Langkah 8.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{32}{9}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 1)$ .

Meningkat pada $(0, 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Hilangkan tanda kurung.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{{(1 + 2)}^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - (2))}^{2}}$

Langkah 9.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(1 - 2)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.3

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{2} {(- 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.4

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 {(- 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.5

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{9 \cdot 1}$

Langkah 9.2.3

Kalikan $9$ dengan $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{9}$

Langkah 9.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8}{9}$

Langkah 9.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $\frac{8}{9}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, 1), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (- 1, 0)$

Langkah 11