Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2 x}{x^{2} - 36}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{2} - 36}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 36}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - 36$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 36) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $x^{2} - 36$ dengan $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 36]}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 36$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 36])}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - x (2 x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 36 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{2} - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} - 36)}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot - 36}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.10.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 36$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 2 x^{2} - 72 = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tambahkan $72$ ke kedua sisi persamaan.

$- 2 x^{2} = 72$

Langkah 2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = 72$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = 72$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{72}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{72}{- 2}$

Langkah 2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Bagilah $72$ dengan $- 2$ .

$x^{2} = - 36$

Langkah 2.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Langkah 2.3.4.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (36)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Langkah 2.3.4.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Langkah 2.3.4.4

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Langkah 2.3.4.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 6$

Langkah 2.3.4.6

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 6 i$

Langkah 2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 6 i$

Langkah 2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 6 i$

Langkah 2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 6 i, - 6 i$

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{- 2 x^{2} - 72}{{(x^{2} - 36)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{2} - 36)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

${(x^{2} - 6^{2})}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.2

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 6$ .

${((x + 6) (x - 6))}^{2} = 0$

Langkah 4.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x + 6) (x - 6)$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 6)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3

Atur ${(x + 6)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Atur ${(x + 6)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.3.2

Selesaikan ${(x + 6)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.2.1

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Langkah 4.2.3.2.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 4.2.4

Atur ${(x - 6)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.1

Atur ${(x - 6)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x - 6)}^{2} = 0$

Langkah 4.2.4.2

Selesaikan ${(x - 6)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.4.2.1

Atur $x - 6$ agar sama dengan $0$ .

$x - 6 = 0$

Langkah 4.2.4.2.2

Tambahkan $6$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 6$

Langkah 4.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat ${(x + 6)}^{2} {(x - 6)}^{2} = 0$ benar.

$x = - 6, 6$

Langkah 4.3

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x = - 6, x = 6$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 6) \cup (6, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 7) = \frac{- 2 {(- 7)}^{2} - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 98 - 72}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Kurangi $72$ dengan $- 98$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{({(- 7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $36$ dengan $49$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 7) = \frac{- 170}{169}$

Langkah 6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 7) = - \frac{170}{169}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 7$ , turunannya adalah $- \frac{170}{169}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 6)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 6)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 6, 6)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} - 72}{{({(0)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{0 - 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Kurangi $72$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(0 - 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{{(- 36)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $- 36$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0) = \frac{- 72}{1296}$

Langkah 7.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 72$ dan $1296$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Faktorkan $72$ dari $- 72$ .

$f' (0) = \frac{72 (- 1)}{1296}$

Langkah 7.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.2.1

Faktorkan $72$ dari $1296$ .

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Langkah 7.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (0) = \frac{72 \cdot - 1}{72 \cdot 18}$

Langkah 7.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (0) = \frac{- 1}{18}$

Langkah 7.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (0) = - \frac{1}{18}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{18}$ .

$- \frac{1}{18}$

Langkah 7.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $- \frac{1}{18}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 6, 6)$ .

Menurun pada $(- 6, 6)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(6, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $7$ pada pernyataan tersebut.

$f' (7) = \frac{- 2 {(7)}^{2} - 72}{{({(7)}^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7) = \frac{- 2 \cdot 49 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $49$ .

$f' (7) = \frac{- 98 - 72}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Kurangi $72$ dengan $- 98$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(7^{2} - 36)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{{(49 - 36)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Kurangi $36$ dengan $49$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{13^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $13$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (7) = \frac{- 170}{169}$

Langkah 8.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (7) = - \frac{170}{169}$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{170}{169}$ .

$- \frac{170}{169}$

Langkah 8.3

Pada $x = 7$ , turunannya adalah $- \frac{170}{169}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(6, \infty)$ .

Menurun pada $(6, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, - 6), (- 6, 6), (6, \infty)$

Langkah 10