Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.1.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - \frac{d}{d x} x^{3}$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - (3 x^{2})$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Kurangi $12$ dengan $0$ .

$f' (x) = - 12 + 12 x - 3 x^{2}$

Langkah 1.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x^{2} + 12 x - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $- 3$ dari $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $- 3$ dari $- 12$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot 4 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $- 3$ dari $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (4)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Langkah 2.2.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$- 3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Langkah 2.2.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 2$ .

$- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 3 {(x - 2)}^{2} = 0$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 {(x - 2)}^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah ${(x - 2)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 2.5

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $2$ .

$2$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 12$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 4 - 12 x + 6 x^{2} - x^{3}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 3 {(1)}^{2} + 12 (1) - 12$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 3 \cdot 1 + 12 (1) - 12$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 (1) - 12$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 3 + 12 - 12$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$f' (1) = 9 - 12$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$f' (1) = - 3$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 5.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 12 (3) - 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 12 (3) - 12$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $9$ .

$f' (3) = - 27 + 12 (3) - 12$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $12$ dengan $3$ .

$f' (3) = - 27 + 36 - 12$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tambahkan $- 27$ dan $36$ .

$f' (3) = 9 - 12$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$f' (3) = - 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, \infty)$ .

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, 2), (2, \infty)$

Langkah 8