Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{5} - 5 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{3}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $15 u$ dari $15 u^{2} - 15 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $15 u$ dari $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Langkah 2.2.3.2

Faktorkan $15 u$ dari $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Langkah 2.2.3.3

Faktorkan $15 u$ dari $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Langkah 2.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x^{2} - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x^{2} - 1$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $x^{2} - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.5.2.3

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.5.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.5.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.5.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ benar.

$x = 0, 1, - 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 1, - 1$ .

$0, 1, - 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 15 {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 15 {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $15$ dengan $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 {(- 2)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = 240 - 15 \cdot 4$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = 240 - 60$

Langkah 5.2.2

Kurangi $60$ dengan $240$ .

$f' (- 2) = 180$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $180$ .

$180$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $180$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 ({(- 1)}^{4} (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (1 (\frac{1^{4}}{2^{4}})) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{16}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Langkah 6.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 6.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 6.2.1.9

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 6.2.1.10

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 6.2.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Langkah 6.2.1.12

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Langkah 6.2.1.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{15}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 6.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $16$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $\frac{15}{4}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $60$ dengan $15$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Langkah 6.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Langkah 6.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Langkah 6.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{45}{16}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1, 0)$ .

Menurun pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 {(\frac{1}{2})}^{4} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1^{4}}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{2^{4}}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 15 (\frac{1}{16}) - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4

Gabungkan $15$ dan $\frac{1}{16}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Langkah 7.2.1.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 \frac{1}{2^{2}}$

Langkah 7.2.1.7

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - 15 (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.8

Gabungkan $- 15$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} + \frac{- 15}{4}$

Langkah 7.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4}$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{15}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Langkah 7.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $16$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $\frac{15}{4}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15}{16} - \frac{15 \cdot 4}{16}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 15 \cdot 4}{16}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{15 - 60}{16}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $60$ dengan $15$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 45}{16}$

Langkah 7.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{45}{16}$

Langkah 7.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{45}{16}$ .

$- \frac{45}{16}$

Langkah 7.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{45}{16}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 15 {(2)}^{4} - 15 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (2) = 15 \cdot 16 - 15 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $15$ dengan $16$ .

$f' (2) = 240 - 15 {(2)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 240 - 15 \cdot 4$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $- 15$ dengan $4$ .

$f' (2) = 240 - 60$

Langkah 8.2.2

Kurangi $60$ dengan $240$ .

$f' (2) = 180$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $180$ .

$180$

Langkah 8.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $180$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- 1, 0), (0, 1)$

Langkah 10