Kalkulus Contoh

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 x^{3} - 3 x^{5}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$f' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $- 3$ .

$f' (x) = 60 x^{2} - 15 x^{4}$

Langkah 1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tulis kembali $x^{4}$ sebagai ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = x^{2}$ . Masukkan $u$ untuk semua kejadian $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $15 u$ dari $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Faktorkan $15 u$ dari $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Langkah 2.2.3.2

Faktorkan $15 u$ dari $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Langkah 2.2.3.3

Faktorkan $15 u$ dari $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Langkah 2.2.4

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $- x^{2} + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $- x^{2} + 4$ sama dengan $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $- x^{2} + 4 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 4$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 2.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 2.5.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 2.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 2.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 2.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ benar.

$x = 0, 2, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 2, - 2$ .

$0, 2, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = - 15 {(- 3)}^{4} + 60 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 15$ dengan $81$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 {(- 3)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = - 1215 + 540$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 1215$ dan $540$ .

$f' (- 3) = - 675$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 675$ .

$- 675$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- 675$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 15 {(- 1)}^{4} + 60 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 15$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 15 + 60$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 15$ dan $60$ .

$f' (- 1) = 45$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $45$ .

$45$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $45$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2, 0)$ .

Meningkat pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 15 {(1)}^{4} + 60 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 15 \cdot 1 + 60 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 15$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 15 + 60 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 15 + 60$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 15$ dan $60$ .

$f' (1) = 45$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $45$ .

$45$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $45$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, 2)$ .

Meningkat pada $(0, 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = - 15 {(3)}^{4} + 60 {(3)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (3) = - 15 \cdot 81 + 60 {(3)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 15$ dengan $81$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 {(3)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = - 1215 + 60 \cdot 9$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $9$ .

$f' (3) = - 1215 + 540$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 1215$ dan $540$ .

$f' (3) = - 675$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 675$ .

$- 675$

Langkah 8.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $- 675$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2, \infty)$ .

Menurun pada $(2, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 2, 0), (0, 2)$

Menurun pada: $(- \infty, - 2), (2, \infty)$

Langkah 10