Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 6 x^{2} + 7$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (7)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $12 x^{3} - 12 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{3} - 12 x$ .

$12 x^{3} - 12 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{3} - 12 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{3} - 12 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3} - 12 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $12 x$ dari $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $12 x$ dari $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $12 x$ dari $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$12 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 x (x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 12 {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = 12 \cdot - 8 - 12 \cdot - 2$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $- 8$ .

$f' (- 2) = - 96 - 12 \cdot - 2$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - 96 + 24$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 96$ dan $24$ .

$f' (- 2) = - 72$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 72$ .

$- 72$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- 72$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (- \frac{1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{- 1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{- 1}{8}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $3$ dan $\frac{- 1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.7

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.9

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.9.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.9.2

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.9.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 6.2.1.9.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.10

Kalikan $- 6$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 6$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{9}{2}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{9}{2}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 0)$ .

Meningkat pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 {(\frac{1}{2})}^{3} - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{3}}) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{8}) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{8}) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4 \cdot 2})) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 12 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 12$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (- 6) (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (- 6 (\frac{1}{2}))$

Langkah 7.2.1.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 6$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- 6$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $- 6$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{3 - 12}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $12$ dengan $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 9}{2}$

Langkah 7.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{9}{2}$

Langkah 7.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{9}{2}$ .

$- \frac{9}{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{9}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 12 {(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = 12 \cdot 8 - 12 \cdot 2$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $8$ .

$f' (2) = 96 - 12 \cdot 2$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$f' (2) = 96 - 24$

Langkah 8.2.2

Kurangi $24$ dengan $96$ .

$f' (2) = 72$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $72$ .

$72$

Langkah 8.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $72$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Langkah 10