Kalkulus Contoh

$f (x) = 6 x^{4} + 24 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 x^{4} + 24 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $6$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $24 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 24 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $24$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 72 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$24 x^{3} + 72 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{3} + 72 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{3}$ .

$24 x^{2} (x) + 72 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $72 x^{2}$ .

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $24 x^{2}$ dari $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (3)$ .

$24 x^{2} (x + 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 3$ sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $24 x^{2} (x + 3) = 0$ benar.

$x = 0, - 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 3$ .

$0, - 3$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = 24 {(- 4)}^{3} + 72 {(- 4)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 4) = 24 \cdot - 64 + 72 {(- 4)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $- 64$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 {(- 4)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 72 \cdot 16$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $16$ .

$f' (- 4) = - 1536 + 1152$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 1536$ dan $1152$ .

$f' (- 4) = - 384$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 384$ .

$- 384$

Langkah 5.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $- 384$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 3)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{2^{3}}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (- \frac{27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{27}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{3}{2}) = 24 (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5.2

Faktorkan $8$ dari $24$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 (3) (\frac{- 27}{8}) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = 8 \cdot (3 (\frac{- 27}{8})) + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{3}{2}) = 3 \cdot - 27 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $- 27$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Langkah 6.2.1.7

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.7.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Langkah 6.2.1.7.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 6.2.1.8

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 6.2.1.9

Kalikan $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Langkah 6.2.1.10

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{2^{2}})$

Langkah 6.2.1.11

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 72 (\frac{9}{4})$

Langkah 6.2.1.12

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.12.1

Faktorkan $4$ dari $72$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 (18) (\frac{9}{4})$

Langkah 6.2.1.12.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 4 \cdot (18 (\frac{9}{4}))$

Langkah 6.2.1.12.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 18 \cdot 9$

Langkah 6.2.1.13

Kalikan $18$ dengan $9$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = - 81 + 162$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 81$ dan $162$ .

$f' (- \frac{3}{2}) = 81$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $81$ .

$81$

Langkah 6.3

Pada $x = - \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $81$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 3, 0)$ .

Meningkat pada $(- 3, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 72 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 72 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f' (1) = 24 + 72 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 24 + 72 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $72$ dengan $1$ .

$f' (1) = 24 + 72$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $24$ dan $72$ .

$f' (1) = 96$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $96$ .

$96$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $96$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 3, 0), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 3)$

Langkah 9