Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{3} - 45 x^{2} + 150 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 45 x^{2}] + \frac{d}{d x} [150 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 45 x^{2}) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 45 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 45$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 45 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 45 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 45 (2 x) + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 45$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + \frac{d}{d x} (150 x)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [150 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $150$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $150 x$ terhadap $x$ adalah $150 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $150$ dengan $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 90 x + 150$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 90 x + 150$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 90 x + 150 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2} - 90 x + 150$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) - 90 x + 150 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $- 90 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 150 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $150$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x) + 6 (25) = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2}) + 6 (- 15 x)$ .

$6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25) = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (2 x^{2} - 15 x) + 6 (25)$ .

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 15$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 15$ dari $- 15 x$ .

$6 (2 x^{2} - 15 x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 15$ sebagai $- 5$ ditambah $- 10$

$6 (2 x^{2} + (- 5 - 10) x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$6 (2 x^{2} - 5 x - 10 x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$6 ((2 x^{2} - 5 x) - 10 x + 25) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$6 (x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) = 0$

Langkah 2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 5$ .

$6 ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 5$ sama dengan $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 5 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 5$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 5$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 5$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Langkah 2.5

Atur $x - 5$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x - 5$ sama dengan $0$ .

$x - 5 = 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $5$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 5$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (2 x - 5) (x - 5) = 0$ benar.

$x = \frac{5}{2}, 5$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{5}{2}, 5$ .

$\frac{5}{2}, 5$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{5}{2}) \cup (\frac{5}{2}, 5) \cup (5, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{5}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.5) = 12 {(1.5)}^{2} - 90 \cdot 1.5 + 150$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $1.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.5) = 12 \cdot 2.25 - 90 \cdot 1.5 + 150$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $2.25$ .

$f' (1.5) = 27 - 90 \cdot 1.5 + 150$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 90$ dengan $1.5$ .

$f' (1.5) = 27 - 135 + 150$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $135$ dengan $27$ .

$f' (1.5) = - 108 + 150$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $150$ .

$f' (1.5) = 42$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $42$ .

$42$

Langkah 5.3

Pada $x = 1.5$ , turunannya adalah $42$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, \frac{5}{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{5}{2})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(2.5, 5)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.75$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3.75) = 12 {(3.75)}^{2} - 90 \cdot 3.75 + 150$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $3.75$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3.75) = 12 \cdot 14.0625 - 90 \cdot 3.75 + 150$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $14.0625$ .

$f' (3.75) = 168.75 - 90 \cdot 3.75 + 150$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 90$ dengan $3.75$ .

$f' (3.75) = 168.75 - 337.5 + 150$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $337.5$ dengan $168.75$ .

$f' (3.75) = - 168.75 + 150$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 168.75$ dan $150$ .

$f' (3.75) = - 18.75$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 18.75$ .

$- 18.75$

Langkah 6.3

Pada $x = 3.75$ , turunannya adalah $- 18.75$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(2.5, 5)$ .

Menurun pada $(\frac{5}{2}, 5)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(5, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f' (6) = 12 {(6)}^{2} - 90 \cdot 6 + 150$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (6) = 12 \cdot 36 - 90 \cdot 6 + 150$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $36$ .

$f' (6) = 432 - 90 \cdot 6 + 150$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 90$ dengan $6$ .

$f' (6) = 432 - 540 + 150$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $540$ dengan $432$ .

$f' (6) = - 108 + 150$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 108$ dan $150$ .

$f' (6) = 42$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $42$ .

$42$

Langkah 7.3

Pada $x = 6$ , turunannya adalah $42$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(5, \infty)$ .

Meningkat pada $(5, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, \frac{5}{2}), (5, \infty)$

Menurun pada: $(\frac{5}{2}, 5)$

Langkah 9