Kalkulus Contoh

$f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$- 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 5$ .

$- 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 20 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- 20 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [9]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $- 20 x^{3} - 8 x$ dan $0$ .

$f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 20 x^{3} - 8 x$ .

$- 20 x^{3} - 8 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 20 x^{3} - 8 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 20 x^{3} - 8 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $- 4 x$ dari $- 20 x^{3} - 8 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $- 4 x$ dari $- 20 x^{3}$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 8 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $- 4 x$ dari $- 8 x$ .

$- 4 x (5 x^{2}) - 4 x \cdot 2 = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $- 4 x$ dari $- 4 x (5 x^{2}) - 4 x (2)$ .

$- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $5 x^{2} + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $5 x^{2} + 2$ sama dengan $0$ .

$5 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $5 x^{2} + 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$5 x^{2} = - 2$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $5 x^{2} = - 2$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $5 x^{2} = - 2$ dengan $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{5}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} = - \frac{2}{5}$

Langkah 2.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$

Langkah 2.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{2}{5}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{2}{5}}$

Langkah 2.5.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm i \sqrt{\frac{2}{5}}$

Langkah 2.5.2.4.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{2}{5}}$ sebagai $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.4

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Langkah 2.5.2.4.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ dengan $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.5.2

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Langkah 2.5.2.4.5.3

Naikkan $\sqrt{5}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Langkah 2.5.2.4.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.2.4.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{5}}^{2}$ sebagai $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{5}$ sebagai $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Langkah 2.5.2.4.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Langkah 2.5.2.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.4.6.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2 \cdot 5}}{5}$

Langkah 2.5.2.4.6.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{5}$

Langkah 2.5.2.4.7

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Langkah 2.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Langkah 2.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Langkah 2.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 4 x (5 x^{2} + 2) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{i \sqrt{10}}{5}, - \frac{i \sqrt{10}}{5}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 20 x^{3} - 8 x$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = - 5 x^{4} - 4 x^{2} + 9$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - 20 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 20 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 20$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 - 8 \cdot - 1$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = 20 + 8$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $20$ dan $8$ .

$f' (- 1) = 28$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $28$ .

$28$

Langkah 5.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $28$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - 20 {(1)}^{3} - 8 \cdot 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 20 \cdot 1 - 8 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 20$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8 \cdot 1$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 20 - 8$

Langkah 6.2.2

Kurangi $8$ dengan $- 20$ .

$f' (1) = - 28$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 28$ .

$- 28$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 28$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \infty)$ .

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0)$

Menurun pada: $(0, \infty)$

Langkah 8