Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(2 x - 3)}^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali ${(2 x - 3)}^{2}$ sebagai $(2 x - 3) (2 x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x ((2 x - 3) (2 x - 3))]$

Langkah 1.1.2

Perluas $(2 x - 3) (2 x - 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3))]$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x - 3))]$

Langkah 1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [x (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.4

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 3)]$

Langkah 1.1.3.1.6

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 6 x - 6 x + 9)]$

Langkah 1.1.3.2

Kurangi $6 x$ dengan $- 6 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (4 x^{2} - 12 x + 9)]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = 4 x^{2} - 12 x + 9$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 12 x + 9] + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 x^{2} - 12 x + 9$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.2

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.4

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$x (8 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.5

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (8 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (8 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.7

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$x (8 x - 12 + \frac{d}{d x} [9]) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.8

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x (8 x - 12 + 0) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.9

Tambahkan $8 x - 12$ dan $0$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.5.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (8 x - 12) + (4 x^{2} - 12 x + 9) \cdot 1$

Langkah 1.1.5.11

Kalikan $4 x^{2} - 12 x + 9$ dengan $1$ .

$x (8 x - 12) + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x (8 x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (x^{1} x) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$8 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$8 x^{1 + 1} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$8 x^{2} + x \cdot - 12 + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.5

Pindahkan $- 12$ ke sebelah kiri $x$ .

$8 x^{2} - 12 \cdot x + 4 x^{2} - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.6

Tambahkan $8 x^{2}$ dan $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} - 12 x - 12 x + 9$

Langkah 1.1.6.2.7

Kurangi $12 x$ dengan $- 12 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 24 x + 9$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$12 x^{2} - 24 x + 9 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $3$ dari $12 x^{2} - 24 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $3$ dari $12 x^{2}$ .

$3 (4 x^{2}) - 24 x + 9 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $3$ dari $- 24 x$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 9 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x) + 3 (3) = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $3$ dari $3 (4 x^{2}) + 3 (- 8 x)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3) = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $3$ dari $3 (4 x^{2} - 8 x) + 3 (3)$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 8$ dari $- 8 x$ .

$3 (4 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 8$ sebagai $- 2$ ditambah $- 6$

$3 (4 x^{2} + (- 2 - 6) x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$3 (4 x^{2} - 2 x - 6 x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$3 ((4 x^{2} - 2 x) - 6 x + 3) = 0$

Langkah 2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$3 (2 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $2 x - 1$ .

$3 ((2 x - 1) (2 x - 3)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $2 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $2 x - 1$ sama dengan $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $2 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.5

Atur $2 x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $2 x - 3$ sama dengan $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $2 x - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 3$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 3$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 3$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 (2 x - 1) (2 x - 3) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2}, \frac{3}{2}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.5) = 12 {(- 0.5)}^{2} - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 0.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.5) = 12 \cdot 0.25 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $0.25$ .

$f' (- 0.5) = 3 - 24 \cdot - 0.5 + 9$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = 3 + 12 + 9$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $3$ dan $12$ .

$f' (- 0.5) = 15 + 9$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $15$ dan $9$ .

$f' (- 0.5) = 24$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 5.3

Pada $x = - 0.5$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ .

Meningkat pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(0.5, \frac{3}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1 + 9$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 9$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 \cdot 1 + 9$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$f' (1) = 12 - 24 + 9$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $24$ dengan $12$ .

$f' (1) = - 12 + 9$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $- 12$ dan $9$ .

$f' (1) = - 3$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0.5, \frac{3}{2})$ .

Menurun pada $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{3}{2}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.5) = 12 {(2.5)}^{2} - 24 \cdot 2.5 + 9$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2.5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2.5) = 12 \cdot 6.25 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $12$ dengan $6.25$ .

$f' (2.5) = 75 - 24 \cdot 2.5 + 9$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 24$ dengan $2.5$ .

$f' (2.5) = 75 - 60 + 9$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $60$ dengan $75$ .

$f' (2.5) = 15 + 9$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $15$ dan $9$ .

$f' (2.5) = 24$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 7.3

Pada $x = 2.5$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{3}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{3}{2}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, \frac{1}{2}), (\frac{3}{2}, \infty)$

Menurun pada: $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

Langkah 9