Kalkulus Contoh

$f (x) = 8 x^{3} + 7 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x^{3} + 7 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $8$ .

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$24 x^{2} + 7 \cdot 1$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + 7$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $24 x^{2} + 7$ .

$24 x^{2} + 7$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $24 x^{2} + 7 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$24 x^{2} + 7 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$24 x^{2} = - 7$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $24 x^{2} = - 7$ dengan $24$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $24 x^{2} = - 7$ dengan $24$ .

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{24 x^{2}}{24} = \frac{- 7}{24}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 7}{24}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} = - \frac{7}{24}$

Langkah 2.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$

Langkah 2.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{7}{24}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali $- \frac{7}{24}$ sebagai ${(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{7}{24}}$

Langkah 2.5.1.2

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $7$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{24}}$

Langkah 2.5.1.3

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $24$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}}$

Langkah 2.5.1.4

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} \cdot 7}{2^{2} \cdot 6}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \frac{7}{6})}$

Langkah 2.5.1.5

Tulis kembali $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ sebagai ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \frac{7}{6}}$

Langkah 2.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{\frac{7}{6}}$

Langkah 2.5.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{7}{6}}$ sebagai $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$

Langkah 2.5.4

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ dengan $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} (\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}})$

Langkah 2.5.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}$ dengan $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Langkah 2.5.5.2

Naikkan $\sqrt{6}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Langkah 2.5.5.3

Naikkan $\sqrt{6}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Langkah 2.5.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Langkah 2.5.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{6}}^{2}$ sebagai $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{6}$ sebagai $6^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Langkah 2.5.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7} \sqrt{6}}{6}$

Langkah 2.5.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.6.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{7 \cdot 6}}{6}$

Langkah 2.5.6.2

Kalikan $7$ dengan $6$ .

$x = \pm \frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$

Langkah 2.5.7

Kalikan $\frac{i}{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.7.1

Kalikan $\frac{i}{2}$ dengan $\frac{\sqrt{42}}{6}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{2 \cdot 6}$

Langkah 2.5.7.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Langkah 2.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Langkah 2.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Langkah 2.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i \sqrt{42}}{12}, - \frac{i \sqrt{42}}{12}$

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tidak ada titik yang membuat turunan $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi. Interval untuk memeriksa apakah $f (x) = 8 x^{3} + 7 x$ naik atau turun yaitu $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan, seperti $1$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ pada turunan $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ untuk mengetahui apakah hasilnya negatif atau positif. Jika hasilnya negatif, grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ . Jika hasilnya positif, grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 24 {(1)}^{2} + 7$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 7$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $24$ dengan $1$ .

$f' (1) = 24 + 7$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $24$ dan $7$ .

$f' (1) = 31$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $31$ .

$31$

Langkah 6

Hasil dari mensubstitusikan $1$ ke dalam $f' (x) = 24 x^{2} + 7$ adalah $31$ , yang mana positif sehingga grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \infty, \infty)$ karena $24 x^{2} + 7 > 0$

Langkah 7

Meningkat selama interval $(- \infty, \infty)$ berarti bahwa fungsinya selalu meningkat.

Selalu Meningkat

Langkah 8