Kalkulus Contoh

$f (x) = 19 x + \frac{1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $19 x + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [19 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (19 x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [19 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $19$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $19 x$ terhadap $x$ adalah $19 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 19 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 19 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $19$ dengan $1$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 19 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 19 - x^{- 2}$

Langkah 1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 19 - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.5

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 19$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} + 19$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 19 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $19$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 19$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} = - 19$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 19 x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - 19 x^{2}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- 19 x^{2} = - 1$ .

$- 19 x^{2} = - 1$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- 19 x^{2} = - 1$ dengan $- 19$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- 19 x^{2} = - 1$ dengan $- 19$ .

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 19 x^{2}}{- 19} = \frac{- 1}{- 19}$

Langkah 2.5.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 19}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x^{2} = \frac{1}{19}$

Langkah 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{19}}$

Langkah 2.5.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{1}{19}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{1}{19}}$ sebagai $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{19}}$

Langkah 2.5.4.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}}$

Langkah 2.5.4.3

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{19}}$ dengan $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{19}} \cdot \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$

Langkah 2.5.4.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.4.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{19}}$ dengan $\frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{\sqrt{19} \sqrt{19}}$

Langkah 2.5.4.4.2

Naikkan $\sqrt{19}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} \sqrt{19}}$

Langkah 2.5.4.4.3

Naikkan $\sqrt{19}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1} {\sqrt{19}}^{1}}$

Langkah 2.5.4.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{1 + 1}}$

Langkah 2.5.4.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{\sqrt{19}}^{2}}$

Langkah 2.5.4.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{19}}^{2}$ sebagai $19$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{19}$ sebagai $19^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{{(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 2.5.4.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 2.5.4.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.4.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 2.5.4.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19^{1}}$

Langkah 2.5.4.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{\sqrt{19}}{19}$

Langkah 2.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}$

Langkah 2.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Langkah 2.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$ .

$\frac{\sqrt{19}}{19}, - \frac{\sqrt{19}}{19}$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{19}}{19}) \cup (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.22941573$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{{(- 1.22941573)}^{2}} + 19$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.22941573$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $1$ dengan $1.51146303$ .

$f' (- 1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0.66161062$ .

$f' (- 1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 0.66161062$ dan $19$ .

$f' (- 1.22941573) = 18.33838937$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18.33838937$ .

$18.33838937$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.22941573$ , turunannya adalah $18.33838937$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Meningkat pada $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19})$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 0.22941573, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.11470786$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{{(- 0.11470786)}^{2}} + 19$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 0.11470786$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Langkah 7.2.1.2

Bagilah $1$ dengan $0.01315789$ .

$f' (- 0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $76.00000256$ .

$f' (- 0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 76.00000256$ dan $19$ .

$f' (- 0.11470786) = - 57.00000256$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Langkah 7.3

Pada $x = - 0.11470786$ , turunannya adalah $- 57.00000256$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 0.22941573, 0)$ .

Menurun pada $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.11470786$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{{(0.11470786)}^{2}} + 19$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.11470786$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (0.11470786) = - \frac{1}{0.01315789} + 19$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $1$ dengan $0.01315789$ .

$f' (0.11470786) = - 1 \cdot 76.00000256 + 19$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $76.00000256$ .

$f' (0.11470786) = - 76.00000256 + 19$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 76.00000256$ dan $19$ .

$f' (0.11470786) = - 57.00000256$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 57.00000256$ .

$- 57.00000256$

Langkah 8.3

Pada $x = 0.11470786$ , turunannya adalah $- 57.00000256$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ .

Menurun pada $(0, \frac{\sqrt{19}}{19})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.22941573$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{{(1.22941573)}^{2}} + 19$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $1.22941573$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1.22941573) = - \frac{1}{1.51146303} + 19$

Langkah 9.2.1.2

Bagilah $1$ dengan $1.51146303$ .

$f' (1.22941573) = - 1 \cdot 0.66161062 + 19$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $0.66161062$ .

$f' (1.22941573) = - 0.66161062 + 19$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $- 0.66161062$ dan $19$ .

$f' (1.22941573) = 18.33838937$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $18.33838937$ .

$18.33838937$

Langkah 9.3

Pada $x = 1.22941573$ , turunannya adalah $18.33838937$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - \frac{\sqrt{19}}{19}), (\frac{\sqrt{19}}{19}, \infty)$

Menurun pada: $(- \frac{\sqrt{19}}{19}, 0), (0, \frac{\sqrt{19}}{19})$

Langkah 11