Kalkulus Contoh

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $13 x^{4} - 78 x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (13 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $13$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $13 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 13 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $13$ .

$f' (x) = 52 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 78 x^{2})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 78$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 78 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 78 (2 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 78$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $52 x^{3} - 156 x$ .

$52 x^{3} - 156 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $52 x^{3} - 156 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$52 x^{3} - 156 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $52 x$ dari $52 x^{3} - 156 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $52 x$ dari $52 x^{3}$ .

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $52 x$ dari $- 156 x$ .

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $52 x$ dari $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ .

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x^{2} - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x^{2} - 3$ sama dengan $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $x^{2} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 3$

Langkah 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Langkah 2.5.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt{3}$

Langkah 2.5.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt{3}$

Langkah 2.5.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $52 x (x^{2} - 3) = 0$ benar.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \sqrt{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.7320508$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2.7320508) = 52 {(- 2.7320508)}^{3} - 156 \cdot - 2.7320508$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2.7320508$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2.7320508) = 52 \cdot - 20.39230467 - 156 \cdot - 2.7320508$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $52$ dengan $- 20.39230467$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 - 156 \cdot - 2.7320508$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 156$ dengan $- 2.7320508$ .

$f' (- 2.7320508) = - 1060.39984314 + 426.1999248$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 1060.39984314$ dan $426.1999248$ .

$f' (- 2.7320508) = - 634.19991834$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 634.19991834$ .

$- 634.19991834$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2.7320508$ , turunannya adalah $- 634.19991834$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \sqrt{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1.7320508, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.8660254$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 0.8660254) = 52 {(- 0.8660254)}^{3} - 156 \cdot - 0.8660254$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.8660254$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 0.8660254) = 52 \cdot - 0.64951904 - 156 \cdot - 0.8660254$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $52$ dengan $- 0.64951904$ .

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 - 156 \cdot - 0.8660254$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 156$ dengan $- 0.8660254$ .

$f' (- 0.8660254) = - 33.7749903 + 135.0999624$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 33.7749903$ dan $135.0999624$ .

$f' (- 0.8660254) = 101.32497209$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $101.32497209$ .

$101.32497209$

Langkah 6.3

Pada $x = - 0.8660254$ , turunannya adalah $101.32497209$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1.7320508, 0)$ .

Meningkat pada $(- \sqrt{3}, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \sqrt{3})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.8660254$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.8660254) = 52 {(0.8660254)}^{3} - 156 \cdot 0.8660254$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.8660254$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (0.8660254) = 52 \cdot 0.64951904 - 156 \cdot 0.8660254$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $52$ dengan $0.64951904$ .

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 156 \cdot 0.8660254$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 156$ dengan $0.8660254$ .

$f' (0.8660254) = 33.7749903 - 135.0999624$

Langkah 7.2.2

Kurangi $135.0999624$ dengan $33.7749903$ .

$f' (0.8660254) = - 101.32497209$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 101.32497209$ .

$- 101.32497209$

Langkah 7.3

Pada $x = 0.8660254$ , turunannya adalah $- 101.32497209$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \sqrt{3})$ .

Menurun pada $(0, \sqrt{3})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(\sqrt{3}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.7320508$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2.7320508) = 52 {(2.7320508)}^{3} - 156 \cdot 2.7320508$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2.7320508$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2.7320508) = 52 \cdot 20.39230467 - 156 \cdot 2.7320508$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $52$ dengan $20.39230467$ .

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 156 \cdot 2.7320508$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 156$ dengan $2.7320508$ .

$f' (2.7320508) = 1060.39984314 - 426.1999248$

Langkah 8.2.2

Kurangi $426.1999248$ dengan $1060.39984314$ .

$f' (2.7320508) = 634.19991834$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $634.19991834$ .

$634.19991834$

Langkah 8.3

Pada $x = 2.7320508$ , turunannya adalah $634.19991834$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\sqrt{3}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\sqrt{3}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \sqrt{3}, 0), (\sqrt{3}, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \sqrt{3}), (0, \sqrt{3})$

Langkah 10