Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 1$ dan $g (x) = x + 3$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $x + 3$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 3)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 3 - (x - 1)}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{x + 3 - x + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $x + 3 - x - - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$f' (x) = \frac{3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{3 + 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4}{{(x + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 = 0$

Langkah 2.3

Karena $4 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Atur $x + 3$ agar sama dengan $0$ .

$x + 3 = 0$

Langkah 4.2.2

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 3$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{4}{{(x + 3)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{x - 1}{x + 3}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$ .

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 4) = \frac{4}{{((- 4) + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$f' (- 4) = \frac{4}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 4) = \frac{4}{1}$

Langkah 6.2.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$f' (- 4) = 4$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$4$

Langkah 6.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $4$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = \frac{4}{{((- 2) + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{1^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- 2) = \frac{4}{1}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$f' (- 2) = 4$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$4$

Langkah 7.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $4$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 3, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 3), (- 3, \infty)$

Langkah 9