Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{4} + 6 x^{3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{4} + 6 x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{3})$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 6 (3 x^{2})$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $6$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + 18 x^{2}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$8 x^{3} + 18 x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $2 x^{2}$ dari $8 x^{3} + 18 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $2 x^{2}$ dari $8 x^{3}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 18 x^{2} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $2 x^{2}$ dari $18 x^{2}$ .

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $2 x^{2}$ dari $2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} (9)$ .

$2 x^{2} (4 x + 9) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$4 x + 9 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $4 x + 9$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $4 x + 9$ sama dengan $0$ .

$4 x + 9 = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $4 x + 9 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$4 x = - 9$

Langkah 2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $4 x = - 9$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 x = - 9$ dengan $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Langkah 2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 9}{4}$

Langkah 2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 9}{4}$

Langkah 2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{9}{4}$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x^{2} (4 x + 9) = 0$ benar.

$x = 0, - \frac{9}{4}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - \frac{9}{4}$ .

$0, - \frac{9}{4}$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - \frac{9}{4}) \cup (- \frac{9}{4}, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{9}{4})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3.25$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3.25) = 8 {(- 3.25)}^{3} + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3.25$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 3.25) = 8 \cdot - 34.328125 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 34.328125$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 {(- 3.25)}^{2}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $- 3.25$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 18 \cdot 10.5625$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $18$ dengan $10.5625$ .

$f' (- 3.25) = - 274.625 + 190.125$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 274.625$ dan $190.125$ .

$f' (- 3.25) = - 84.5$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 84.5$ .

$- 84.5$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3.25$ , turunannya adalah $- 84.5$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \frac{9}{4})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \frac{9}{4})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2.25, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.125$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.125) = 8 {(- 1.125)}^{3} + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.125$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1.125) = 8 \cdot - 1.42382812 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 1.42382812$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 {(- 1.125)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1.125$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 18 \cdot 1.265625$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $18$ dengan $1.265625$ .

$f' (- 1.125) = - 11.390625 + 22.78125$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 11.390625$ dan $22.78125$ .

$f' (- 1.125) = 11.390625$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $11.390625$ .

$11.390625$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1.125$ , turunannya adalah $11.390625$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2.25, 0)$ .

Meningkat pada $(- \frac{9}{4}, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = 8 {(1)}^{3} + 18 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 8 \cdot 1 + 18 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$f' (1) = 8 + 18 {(1)}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 8 + 18 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $18$ dengan $1$ .

$f' (1) = 8 + 18$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $8$ dan $18$ .

$f' (1) = 26$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $26$ .

$26$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $26$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \frac{9}{4}, 0), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \frac{9}{4})$

Langkah 9