Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} - 9 x^{2} - 24 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 9 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 9$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 24 x)$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 24 \frac{d}{d x} x$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 24 \cdot 1$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 18 x - 24$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{2} - 18 x - 24$ .

$6 x^{2} - 18 x - 24$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{2} - 18 x - 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 x^{2} - 18 x - 24 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2} - 18 x - 24$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 18 x - 24 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $- 18 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 3 x) - 24 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $- 24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 3 x) + 6 \cdot - 4 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2} + 6 (- 3 x)$ .

$6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 4 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (x^{2} - 3 x) + 6 \cdot - 4$ .

$6 (x^{2} - 3 x - 4) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} - 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $- 3$ .

$- 4, 1$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$6 ((x - 4) (x + 1)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (x - 4) (x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (x - 4) (x + 1) = 0$ benar.

$x = 4, - 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $4, - 1$ .

$4, - 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{2} - 18 \cdot - 2 - 24$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot 4 - 18 \cdot - 2 - 24$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$f' (- 2) = 24 - 18 \cdot - 2 - 24$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 18$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = 24 + 36 - 24$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tambahkan $24$ dan $36$ .

$f' (- 2) = 60 - 24$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $60$ .

$f' (- 2) = 36$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$36$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $36$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{3}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{3}{2}) = 6 {(\frac{3}{2})}^{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{2^{2}}) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 6 (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 (3) (\frac{9}{4}) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{9}{2 \cdot 2})) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{9}{2}) - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 9}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.6

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.7.1

Faktorkan $2$ dari $- 18$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 9) (\frac{3}{2}) - 24$

Langkah 6.2.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 9 (\frac{3}{2})) - 24$

Langkah 6.2.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 9 \cdot 3 - 24$

Langkah 6.2.1.8

Kalikan $- 9$ dengan $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 27 - 24$

Langkah 6.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis $- 27$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} - 24$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $\frac{- 27}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - 24$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan $\frac{- 27}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} - 24$

Langkah 6.2.2.4

Tulis $- 24$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1}$

Langkah 6.2.2.5

Kalikan $\frac{- 24}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.2.6

Kalikan $\frac{- 24}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 27 \cdot 2}{2} + \frac{- 24 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 27 \cdot 2 - 24 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Kalikan $- 27$ dengan $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 24 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Kalikan $- 24$ dengan $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 - 48}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kurangi $54$ dengan $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27 - 48}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $48$ dengan $- 27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 75}{2}$

Langkah 6.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{75}{2}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{75}{2}$ .

$- \frac{75}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = \frac{3}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{75}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1, 4)$ .

Menurun pada $(- 1, 4)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = 6 {(5)}^{2} - 18 \cdot 5 - 24$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (5) = 6 \cdot 25 - 18 \cdot 5 - 24$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $25$ .

$f' (5) = 150 - 18 \cdot 5 - 24$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 18$ dengan $5$ .

$f' (5) = 150 - 90 - 24$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $90$ dengan $150$ .

$f' (5) = 60 - 24$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $24$ dengan $60$ .

$f' (5) = 36$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $36$ .

$36$

Langkah 7.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $36$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 1), (4, \infty)$

Menurun pada: $(- 1, 4)$

Langkah 9