Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x - 7$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 12 x$ terhadap $x$ adalah $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.4.3

Kalikan $- 12$ dengan $1$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 7]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

Langkah 1.1.5.2

Tambahkan $6 x^{2} + 6 x - 12$ dan $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2} + 6 x - 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $6$ dari $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $6$ dari $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $6$ dari $- 12$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $6$ dari $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $6$ dari $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ .

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} + x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $1$ .

$- 1, 2$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ benar.

$x = 1, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1, - 2$ .

$1, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $18$ dengan $54$ .

$f' (- 3) = 36 - 12$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $36$ .

$f' (- 3) = 24$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.6

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.6.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.6.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.6.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.6.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.7

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

Langkah 6.2.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

Langkah 6.2.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

Langkah 6.2.1.9

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

Langkah 6.2.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

Langkah 6.2.2.3

Kalikan $\frac{- 3}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

Langkah 6.2.2.4

Tulis $- 12$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

Langkah 6.2.2.5

Kalikan $\frac{- 12}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.2.6

Kalikan $\frac{- 12}{1}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4.2

Kalikan $- 12$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kurangi $6$ dengan $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Kurangi $24$ dengan $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

Langkah 6.2.5.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{27}{2}$ .

$- \frac{27}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{27}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 1)$ .

Menurun pada $(- 2, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $4$ .

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Tambahkan $24$ dan $12$ .

$f' (2) = 36 - 12$

Langkah 7.2.2.2

Kurangi $12$ dengan $36$ .

$f' (2) = 24$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- 2, 1)$

Langkah 9