Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (3)$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Langkah 1.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 4 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3} - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $4 x$ dari $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $4 x$ dari $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $4 x$ dari $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 2.2.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.6

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1, 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 1, 1$ .

$0, - 1, 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 4 \cdot - 2$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 4 \cdot - 2$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 4 \cdot - 2$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - 32 + 8$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $- 32$ dan $8$ .

$f' (- 2) = - 24$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 24$ .

$- 24$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- 24$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{2^{3}}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (- \frac{1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{8}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 (2)}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = 4 (\frac{- 1}{4 \cdot 2}) - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (- \frac{1}{2})$

Langkah 6.2.1.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.7.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.7.2

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})$

Langkah 6.2.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))$

Langkah 6.2.1.7.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 2 \cdot - 1$

Langkah 6.2.1.8

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2$

Langkah 6.2.2

Untuk menuliskan $2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 6.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 + 4}{2}$

Langkah 6.2.5.2

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$

Langkah 6.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2}$

Langkah 6.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $\frac{3}{2}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 0)$ .

Meningkat pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 4 (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.5.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 (- 2) (\frac{1}{2})$

Langkah 7.2.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2 (\frac{1}{2}))$

Langkah 7.2.1.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- 2$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 4}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 7.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{2}$

Langkah 7.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Langkah 7.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- \frac{3}{2}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 4 \cdot 2$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 4 \cdot 2$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $8$ .

$f' (2) = 32 - 4 \cdot 2$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f' (2) = 32 - 8$

Langkah 8.2.2

Kurangi $8$ dengan $32$ .

$f' (2) = 24$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $24$ .

$24$

Langkah 8.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $24$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Langkah 10