Kalkulus Contoh

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 1

Pisahkan integral pada $0$ dan tulis sebagai jumlah dari limit-limit.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{1 - x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 2

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 2.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 2.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

Langkah 2.3

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 0^{2}$

Langkah 2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Langkah 2.4.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1 - t^{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 2.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} \int_{1 - t^{2}}^{1} - \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - \int_{1 - t^{2}}^{1} \frac{e^{u}}{2} d u + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1 - t^{2}}^{1} e^{u} d u) + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 7

Gabungkan $e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e^{u}]_{1 - t^{2}}^{1}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $1$ dan pada $1 - t^{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{(e^{1}) - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{1 - x^{2}} d x$

Langkah 9

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Biarkan $u = 1 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Diferensialkan $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Langkah 9.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 9.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 9.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 9.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 9.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Langkah 9.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 9.3.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 9.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Langkah 9.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 - t^{2}$

Langkah 9.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 10.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 - t^{2}} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 11

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \int_{1}^{1 - t^{2}} \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 12

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{1 - t^{2}} e^{u} d u)$

Langkah 13

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$

Langkah 14

Gabungkan $e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{1}^{1 - t^{2}}}{2}$

Langkah 15

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $1 - t^{2}$ dan pada $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{1 - t^{2}}) - e^{1}}{2}$

Langkah 15.2

Sederhanakan.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16

Evaluasi limit-limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{e - e^{1 - t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.1.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} e - e^{1 - t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.1.4

Evaluasi limit dari $e$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - lim_{t \to - \infty} e^{1 - t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.2

Karena eksponen $1 - t^{2}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{1 - t^{2}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.3

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.3.1

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{1 - t^{2}} - e}{2}$

Langkah 16.3.2

Pindahkan suku $\frac{1}{2}$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - e$

Langkah 16.3.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{1 - t^{2}} - lim_{t \to \infty} e)$

Langkah 16.4

Karena eksponen $1 - t^{2}$ mendekati $- \infty$ , jumlah $e^{1 - t^{2}}$ mendekati $0$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} e)$

Langkah 16.5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.1

Evaluasi limit dari $e$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (e - 0) - \frac{1}{2} (0 - e)$

Langkah 16.5.2

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.2.1.1

Kurangi $0$ dengan $e$ .

$- \frac{1}{2} e - \frac{1}{2} (0 - e)$

Langkah 16.5.2.1.2

Gabungkan $e$ dan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (0 - e)$

Langkah 16.5.2.1.3

Kurangi $e$ dengan $0$ .

$- \frac{e}{2} - \frac{1}{2} (- e)$

Langkah 16.5.2.1.4

Kalikan $- \frac{1}{2} (- e)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.5.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \frac{e}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e$

Langkah 16.5.2.1.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{1}{2} e$

Langkah 16.5.2.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e$ .

$- \frac{e}{2} + \frac{e}{2}$

Langkah 16.5.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- e + e}{2}$

Langkah 16.5.2.3

Tambahkan $- e$ dan $e$ .

$\frac{0}{2}$

Langkah 16.5.2.4

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$0$