Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x - 1}{x^{2} + 3}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x - 1$ dan $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $x^{2} + 3$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.3.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 + 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$\frac{- x^{2} + 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.2

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1$ ditambah $3$

$\frac{- x^{2} + (- 1 + 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{- x^{2} - 1 x + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.5.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$\frac{(- x^{2} - 1 x) + 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$\frac{x (- x - 1) - 3 (- x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.5.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $- x - 1$ .

$\frac{(- x - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{(- (x) - 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.7

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (1)) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.9

Tulis kembali $- (x + 1)$ sebagai $- 1 (x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.1.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{(x + 1) (x - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(x + 1) (x - 3) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

Langkah 2.3.2

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 2.3.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Atur $x - 3$ sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 2.3.3.2

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x + 1) (x - 3) = 0$ benar.

$x = - 1, 3$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 1, 3$ .

$- 1, 3$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 (- 2 - 3)}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{({(- 2)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{{(4 + 3)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $3$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{7^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 1 \cdot - 5}{49}$

Langkah 5.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 5$ .

$f' (- 2) = - \frac{5}{49}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{5}{49}$ .

$- \frac{5}{49}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- \frac{5}{49}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 1)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - \frac{((1) + 1) ((1) - 3)}{{({(1)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 (1 - 3)}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{{(1 + 3)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{4^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (1) = - \frac{2 \cdot - 2}{16}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (1) = - \frac{- 4}{16}$

Langkah 6.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$f' (1) = - \frac{4 (- 1)}{16}$

Langkah 6.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (1) = - \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 4}$

Langkah 6.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (1) = - \frac{- 1}{4}$

Langkah 6.2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (1) = \frac{1}{4}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

Langkah 6.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $\frac{1}{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, 3)$ .

Meningkat pada $(- 1, 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = - \frac{((4) + 1) ((4) - 3)}{{({(4)}^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f' (4) = - \frac{5 (4 - 3)}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(4^{2} + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{{(16 + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $16$ dan $3$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{19^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $19$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = - \frac{5 \cdot 1}{361}$

Langkah 7.2.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f' (4) = - \frac{5}{361}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{5}{361}$ .

$- \frac{5}{361}$

Langkah 7.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $- \frac{5}{361}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(3, \infty)$ .

Menurun pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 1, 3)$

Menurun pada: $(- \infty, - 1), (3, \infty)$

Langkah 9