Kalkulus Contoh

$y = {(2 x + 1)}^{x}$ , $x = 1$

Langkah 1

Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan differensiasinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali ${(2 x + 1)}^{x}$ sebagai $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{x})}]$

Langkah 1.2

Perluas $\ln ({(2 x + 1)}^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (2 x + 1)}]$

Langkah 2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x \ln (2 x + 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Langkah 2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$

Langkah 3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 2 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.2

Turunan dari $\ln (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $2 x + 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan $\frac{1}{2 x + 1}$ dan $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.6

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.7.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.7.2

Gabungkan $\frac{x}{2 x + 1}$ dan $2$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.7.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1)$

Langkah 5.9

Kalikan $\ln (2 x + 1)$ dengan $1$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1))$

Langkah 6

Untuk menuliskan $\ln (2 x + 1)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$e^{x \ln (2 x + 1)} (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

Langkah 7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{x \ln (2 x + 1)} \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 8

Gabungkan $e^{x \ln (2 x + 1)}$ dan $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.1.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1)}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.1.3

Kalikan $\ln (2 x + 1)$ dengan $1$ .

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + 2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.1.4

Sederhanakan $2 \ln (2 x + 1)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x \ln (2 x + 1)} (2 x) + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 9.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)$ .

$\frac{2 x e^{x \ln (2 x + 1)} + x e^{x \ln (2 x + 1)} \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 9.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{2 e^{x \ln (2 x + 1)} x + e^{x \ln (2 x + 1)} x \ln ({(2 x + 1)}^{2}) + e^{x \ln (2 x + 1)} \ln (2 x + 1)}{2 x + 1}$

Langkah 10

Evaluasi turunan pada $x = 1$ .

$\frac{2 e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} (1) \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{(1) \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Sederhanakan $1 \ln (2 (1) + 1)$ dengan memindahkan $1$ ke dalam logaritma.

$\frac{2 e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{2 {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{2 {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{2 \cdot 3^{1} \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.6

Kalikan $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.6.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$\frac{6 \cdot 1 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.6.2

Kalikan $6$ dengan $1$ .

$\frac{6 + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.7

Sederhanakan $1 \ln (2 (1) + 1)$ dengan memindahkan $1$ ke dalam logaritma.

$\frac{6 + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.8

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{6 + {(2 (1) + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.9

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6 + {(2 + 1)}^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.10

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{6 + 3^{1} \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.11

Evaluasi eksponennya.

$\frac{6 + 3 \cdot 1 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.12

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 (1) + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.13

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln ({(2 + 1)}^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.14

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{6 + 3 \ln (3^{2}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.15

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{6 + 3 \ln (9) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.16

Sederhanakan $3 \ln (9)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{6 + \ln (9^{3}) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.17

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + e^{1 \ln (2 (1) + 1)} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.18

Sederhanakan $1 \ln (2 (1) + 1)$ dengan memindahkan $1$ ke dalam logaritma.

$\frac{6 + \ln (729) + e^{\ln ({(2 (1) + 1)}^{1})} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.19

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 (1) + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.20

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + {(2 + 1)}^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.21

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3^{1} \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.22

Evaluasi eksponennya.

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 (1) + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.23

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (2 + 1)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.24

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{6 + \ln (729) + 3 \ln (3)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.25

Sederhanakan $3 \ln (3)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (3^{3})}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.26

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{6 + \ln (729) + \ln (27)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.27

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{6 + \ln (729 \cdot 27)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.1.28

Kalikan $729$ dengan $27$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 (1) + 1}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{2 + 1}$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{6 + \ln (19683)}{3}$