Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} - x + 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Kalikan $x^{2} - x + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.9

Tambahkan $2 x - 1$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.4

Kalikan $- x \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.4.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.2.1

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2

Tambahkan $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ dan $0$ .

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.3

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Susun kembali $- x^{2}$ dan $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = x$ .

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$(1 + x) (1 - x) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Langkah 1.2.3.2

Atur $1 + x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Atur $1 + x$ sama dengan $0$ .

$1 + x = 0$

Langkah 1.2.3.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3.3

Atur $1 - x$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Atur $1 - x$ sama dengan $0$ .

$1 - x = 0$

Langkah 1.2.3.3.2

Selesaikan $1 - x = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 1$

Langkah 1.2.3.3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 1.2.3.3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.2.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x = 1$

Langkah 1.2.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(1 + x) (1 - x) = 0$ benar.

$x = - 1, 1$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{- 1}{2 + 1}$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Langkah 1.4.1.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{3}$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{1}{1}$

Langkah 1.4.2.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$1$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

Langkah 2

Keluarkan titik-titik yang tidak termasuk dalam interval.

$(1, 1)$

Langkah 3

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

Langkah 3.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

Langkah 3.1.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Langkah 3.1.2.1.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$0$

Langkah 3.2

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

Langkah 3.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

Langkah 3.2.2.3

Kurangi $3$ dengan $9$ .

$\frac{3}{6 + 1}$

Langkah 3.2.2.4

Tambahkan $6$ dan $1$ .

$\frac{3}{7}$

Langkah 3.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

Langkah 4

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(1, 1)$

Minimum Mutlak: $(0, 0)$

Langkah 5