Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 36$ dan $g (x) = x^{2} + 36$ .

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 36$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $- 36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 36$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 36$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $36$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1.1

Kurangi $2 x^{2} x$ dengan $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.1.2

Tambahkan $2 \cdot 36 x$ dan $0$ .

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 36$ .

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.3

Tambahkan $72 x$ dan $72 x$ .

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$144 x = 0$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $144 x = 0$ dengan $144$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $144 x = 0$ dengan $144$ .

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $144$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{144}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $144$ .

$x = 0$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kurangi $36$ dengan $0$ .

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{- 36}{0 + 36}$

Langkah 1.4.1.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $36$ .

$\frac{- 36}{36}$

Langkah 1.4.1.2.3

Bagilah $- 36$ dengan $36$ .

$- 1$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, - 1)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 36$ untuk $x$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(- 36)}^{2} - 36$ dan ${(- 36)}^{2} + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

Langkah 2.1.2.1.1.2

Tulis kembali $36$ sebagai $- 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

Langkah 2.1.2.1.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ .

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Langkah 2.1.2.1.1.4

Faktorkan $- 36$ dari ${(- 36)}^{2}$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Langkah 2.1.2.1.1.5

Faktorkan $- 36$ dari $- 36$ .

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Langkah 2.1.2.1.1.6

Faktorkan $- 36$ dari $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

Langkah 2.1.2.1.1.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1.7.1

Faktorkan $- 36$ dari $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ .

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Langkah 2.1.2.1.1.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

Langkah 2.1.2.1.1.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tambahkan $- 36$ dan $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 36$ .

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

Langkah 2.1.2.2.2

Tambahkan $36$ dan $1$ .

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

Langkah 2.1.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $37$ .

$\frac{- 35}{- 37}$

Langkah 2.1.2.3.2

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{35}{37}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $36$ untuk $x$ .

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari ${(36)}^{2} - 36$ dan ${(36)}^{2} + 36$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari ${(36)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis kembali $- 36$ sebagai $- 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Langkah 2.2.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ .

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

Langkah 2.2.2.1.4

Faktorkan $36$ dari $- 1 (- 36^{2} + 36)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

Langkah 2.2.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.5.1

Faktorkan $36$ dari $36^{2}$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

Langkah 2.2.2.1.5.2

Faktorkan $36$ dari $36$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

Langkah 2.2.2.1.5.3

Faktorkan $36$ dari $36 \cdot 36 + 36 (1)$ .

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Langkah 2.2.2.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

Langkah 2.2.2.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Tambahkan $- 36$ dan $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Tambahkan $36$ dan $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

Langkah 2.2.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 35$ .

$\frac{35}{37}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

Minimum Mutlak: $(0, - 1)$

Langkah 4