Kalkulus Contoh

$f (x) = 18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 12]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $18$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $18 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $18$ .

$36 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- \frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{3}{2} x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$36 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$36 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$36 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

Langkah 1.1.1.3.4

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{3}{2}$ .

$36 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$36 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

Langkah 1.1.1.3.6

Gabungkan $\frac{- 9}{2}$ dan $x^{2}$ .

$36 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

Langkah 1.1.1.3.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$36 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

Langkah 1.1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$

Langkah 1.2.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ dengan $2$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{9 x^{2}}{2} + 36 x = 0$ dengan $2$ .

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{9 x^{2}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Langkah 1.2.2.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 9 x^{2} + 36 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $36$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0 \cdot 2$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Kalikan $0$ dengan $2$ .

$- 9 x^{2} + 72 x = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $- 9 x$ dari $- 9 x^{2} + 72 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $- 9 x$ dari $- 9 x^{2}$ .

$- 9 x \cdot x + 72 x = 0$

Langkah 1.2.3.2

Faktorkan $- 9 x$ dari $72 x$ .

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 8 = 0$

Langkah 1.2.3.3

Faktorkan $- 9 x$ dari $- 9 x (x) - 9 x (- 8)$ .

$- 9 x (x - 8) = 0$

Langkah 1.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.6

Atur $x - 8$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x - 8$ sama dengan $0$ .

$x - 8 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $8$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 8$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- 9 x (x - 8) = 0$ benar.

$x = 0, 8$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $18 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.2

Kalikan $18$ dengan $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 1.4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Langkah 1.4.1.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Langkah 1.4.1.2.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Langkah 1.4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 1.4.2

Evaluasi pada $x = 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Substitusikan $8$ untuk $x$ .

$18 {(8)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.1

Naikkan $8$ menjadi pangkat $2$ .

$18 \cdot 64 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2.1.2

Kalikan $18$ dengan $64$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot {(8)}^{3}$

Langkah 1.4.2.2.1.3

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$1152 - \frac{3}{2} \cdot 512$

Langkah 1.4.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot 512$

Langkah 1.4.2.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $512$ .

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (256))$

Langkah 1.4.2.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$1152 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 256)$

Langkah 1.4.2.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$1152 - 3 \cdot 256$

Langkah 1.4.2.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $256$ .

$1152 - 768$

Langkah 1.4.2.2.2

Kurangi $768$ dengan $1152$ .

$384$

Langkah 1.4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (8, 384)$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

$18 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$18 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan $18$ dengan $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

Langkah 2.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Langkah 2.1.2.1.4

Kalikan $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Langkah 2.1.2.1.4.2

Kalikan $0$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Langkah 2.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$0$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $12$ untuk $x$ .

$18 {(12)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Naikkan $12$ menjadi pangkat $2$ .

$18 \cdot 144 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Langkah 2.2.2.1.2

Kalikan $18$ dengan $144$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot {(12)}^{3}$

Langkah 2.2.2.1.3

Naikkan $12$ menjadi pangkat $3$ .

$2592 - \frac{3}{2} \cdot 1728$

Langkah 2.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot 1728$

Langkah 2.2.2.1.4.2

Faktorkan $2$ dari $1728$ .

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (864))$

Langkah 2.2.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$2592 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 864)$

Langkah 2.2.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$2592 - 3 \cdot 864$

Langkah 2.2.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $864$ .

$2592 - 2592$

Langkah 2.2.2.2

Kurangi $2592$ dengan $2592$ .

$0$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(0, 0), (12, 0)$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(8, 384)$

Minimum Mutlak: $(0, 0), (12, 0)$

Langkah 4