Kalkulus Contoh

$f (x) = x + e^{- 4 x}$ , $[- 2, 3]$

Langkah 1

Tentukan titik kritisnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + e^{- 4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.1.1.2.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Langkah 1.1.1.2.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Langkah 1.1.1.2.5

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Langkah 1.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Langkah 1.2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $e^{- 4 x}$ dengan $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Langkah 1.2.4

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 1.2.5

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Perluas $\ln (e^{- 4 x})$ dengan memindahkan $- 4 x$ ke luar logaritma.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 1.2.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 1.2.5.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 1.2.6

Bagi setiap suku pada $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 1.2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 1.2.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Langkah 1.3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 1.4

Evaluasi $x + e^{- 4 x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.1

Substitusikan $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ untuk $x$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 1.4.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ sebagai $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$- (\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$- \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1.2.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 1.4.1.2.5.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 1.4.1.2.5.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 1.4.1.2.5.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Langkah 1.4.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.7

Kalikan $\ln (\frac{1}{4})$ dengan $1$ .

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Langkah 1.4.1.2.8

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Langkah 1.4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Langkah 2

Periksa pada titik interval.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi pada $x = - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Substitusikan $- 2$ untuk $x$ .

$(- 2) + e^{- 4 \cdot - 2}$

Langkah 2.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 2$ .

$- 2 + e^{8}$

Langkah 2.2

Evaluasi pada $x = 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Substitusikan $3$ untuk $x$ .

$(3) + e^{- 4 \cdot 3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $3$ .

$3 + e^{- 12}$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{1}{e^{12}}$

Langkah 2.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- 2, - 2 + e^{8}), (3, 3 + \frac{1}{e^{12}})$

Langkah 3

Bandingkan nilai $f (x)$ yang ditemukan untuk setiap nilai $x$ untuk menentukan maksimum dan minimum mutlak di sepanjang interval yang diberikan. Maksimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ tertinggi dan minimum akan terjadi pada nilai $f (x)$ terendah.

Maksimum Mutlak: $(- 2, - 2 + e^{8})$

Minimum Mutlak: $(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$

Langkah 4