Kalkulus Contoh

$x^{2} + x y + y^{2} = 27$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (27)$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x y + y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Langkah 2.4

Susun kembali suku-suku.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Langkah 3

Karena $27$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $27$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y'$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Kurangkan $2 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Langkah 5.1.2

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 5.2

Faktorkan $y'$ dari $x y' + 2 y y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan $y'$ dari $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Langkah 5.2.2

Faktorkan $y'$ dari $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Langkah 5.2.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ dengan $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.5.1

Tulis kembali $- (2 x + y)$ sebagai $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Langkah 5.3.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Langkah 7

Tetapkan $\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan $x$ dalam bentuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x + y = 0$

Langkah 7.2

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - y$

Langkah 7.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = - y$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - y$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Langkah 7.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{y}{2}$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.3

Kalikan $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.5

Kalikan $(- \frac{y}{2}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1.5.1

Gabungkan $y$ dan $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.5.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.5.3

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.1.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.2

Menentukan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.2.1

Kalikan $\frac{y^{2}}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - (\frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2}) + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.2.2

Kalikan $\frac{y^{2}}{2}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + y^{2} = 27$

Langkah 8.1.2.3

Tulis $y^{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} = 27$

Langkah 8.1.2.4

Kalikan $\frac{y^{2}}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2}}{1} \cdot \frac{4}{4} = 27$

Langkah 8.1.2.5

Kalikan $\frac{y^{2}}{1}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Langkah 8.1.2.6

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} + \frac{y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Langkah 8.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2 + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Langkah 8.1.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + y^{2} \cdot 4}{4} = 27$

Langkah 8.1.4.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{y^{2} - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Langkah 8.1.5

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.5.1

Kurangi $2 y^{2}$ dengan $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} + 4 y^{2}}{4} = 27$

Langkah 8.1.5.2

Tambahkan $- y^{2}$ dan $4 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{4} = 27$

Langkah 8.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Gabungkan.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (3 y^{2})}{3 \cdot 4} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3.1.1.3.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot 27$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Sederhanakan $\frac{4}{3} \cdot 27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 (9))$

Langkah 8.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = \frac{4}{3} \cdot (3 \cdot 9)$

Langkah 8.3.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 4 \cdot 9$

Langkah 8.3.2.1.2

Kalikan $4$ dengan $9$ .

$y^{2} = 36$

Langkah 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{36}$

Langkah 8.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{36}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali $36$ sebagai $6^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{6^{2}}$

Langkah 8.5.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$y = \pm 6$

Langkah 8.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = 6$

Langkah 8.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - 6$

Langkah 8.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = 6, - 6$

Langkah 9

Solve for $x$ when $y$ is $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Hilangkan tanda kurung.

$x = - \frac{6}{2}$

Langkah 9.2

Sederhanakan $- \frac{6}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Bagilah $6$ dengan $2$ .

$x = - 1 \cdot 3$

Langkah 9.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$x = - 3$

Langkah 10

Sederhanakan $- \frac{- 6}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Bagilah $- 6$ dengan $2$ .

$x = - - 3$

Langkah 10.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$x = 3$

Langkah 11

Tentukan titik di mana $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- 3, 6)$

$(3, - 6)$

Langkah 12