Kalkulus Contoh

$3 x y = \ln (x)$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (3 x y) = \frac{d}{d x} (\ln (x))$

Langkah 2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = y$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 (x y' + y \cdot 1)$

Langkah 2.5

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$3 (x y' + y)$

Langkah 2.6

Terapkan sifat distributif.

$3 x y' + 3 y$

Langkah 3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$3 x y' + 3 y = \frac{1}{x}$

Langkah 5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kurangkan $3 y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$

Langkah 5.2

Bagi setiap suku pada $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ dengan $3 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x y' = \frac{1}{x} - 3 y$ dengan $3 x$ .

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x y'}{3 x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y'}{x} = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.2.2.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x}}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.2

Kalikan $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.2.1

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{3 x}$ .

$y' = \frac{1}{x (3 x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x)} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = \frac{1}{3 (x^{1} x^{1})} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = \frac{1}{3 x^{1 + 1}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- 3 y}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 3$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 y$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 (x)}$

Langkah 5.2.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{3 (- y)}{3 x}$

Langkah 5.2.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{- y}{x}$

Langkah 5.2.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Langkah 6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x}$

Langkah 7

Tetapkan $\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan $x$ dalam bentuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 x^{2}, x, 1$

Langkah 7.1.2

Since $3 x^{2}, x, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{1}$ .

Langkah 7.1.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 7.1.4

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 7.1.5

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 7.1.6

KPK dari $3, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$3$

Langkah 7.1.7

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ terjadi $2$ kali.

Langkah 7.1.8

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x^{1} = x$

$x$ terjadi $1$ kali.

Langkah 7.1.9

KPK dari $x^{2}, x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x$

Langkah 7.1.10

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2}$

Langkah 7.1.11

KPK untuk $3 x^{2}, x, 1$ adalah bagian bilangan $3$ dikalikan dengan bagian variabel.

$3 x^{2}$

Langkah 7.2

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ dengan $3 x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{3 x^{2}} - \frac{y}{x} = 0$ dengan $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{3 x^{2}} (3 x^{2}) - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 x^{2}$ .

$3 \frac{1}{3 (x^{2})} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{1}{3 x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - \frac{y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{y}{x}$ ke dalam pembilangnya.

$1 + \frac{- y}{x} (3 x^{2}) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.4.2

Faktorkan $x$ dari $3 x^{2}$ .

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + \frac{- y}{x} (x (3 x)) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$1 - y (3 x) = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.2.1.5

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$1 - 3 y x = 0 (3 x^{2})$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $0 (3 x^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$1 - 3 y x = 0 x^{2}$

Langkah 7.2.3.1.2

Kalikan $0$ dengan $x^{2}$ .

$1 - 3 y x = 0$

Langkah 7.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 y x = - 1$

Langkah 7.3.2

Bagi setiap suku pada $- 3 y x = - 1$ dengan $- 3 y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 y x = - 1$ dengan $- 3 y$ .

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Langkah 7.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 y x}{- 3 y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Langkah 7.3.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Langkah 7.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y x}{y} = \frac{- 1}{- 3 y}$

Langkah 7.3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3 y}$

Langkah 7.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x = \frac{1}{3 y}$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan $3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Tulis kembali.

$0 + 0 + 3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$3 (\frac{1}{3 y}) \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{1}{3 y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \cdot y = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \ln (\frac{1}{3 y})$

Langkah 8.2

Karena $y$ ada di sisi kanan persamaan, tukar sisinya sehingga berada di sisi kiri persamaan.

$\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$

Langkah 8.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{1}{3 y})} = e^{1}$

Langkah 8.4

Tulis kembali $\ln (\frac{1}{3 y}) = 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{1} = \frac{1}{3 y}$

Langkah 8.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{1}{3 y} = e^{1}$ .

$\frac{1}{3 y} = e$

Langkah 8.5.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 y, 1$

Langkah 8.5.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$3 y$

Langkah 8.5.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{3 y} = e$ dengan $3 y$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{3 y} = e$ dengan $3 y$ .

$\frac{1}{3 y} (3 y) = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3 y$ .

$3 \frac{1}{3 (y)} y = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{1}{3 y} y = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} y = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = e (3 y)$

Langkah 8.5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.3.3.1

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e$ .

$1 = 3 e y$

Langkah 8.5.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $3 e y = 1$ .

$3 e y = 1$

Langkah 8.5.4.2

Bagi setiap suku pada $3 e y = 1$ dengan $3 e$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.2.1

Bagilah setiap suku di $3 e y = 1$ dengan $3 e$ .

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Langkah 8.5.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 e y}{3 e} = \frac{1}{3 e}$

Langkah 8.5.4.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Langkah 8.5.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e y}{e} = \frac{1}{3 e}$

Langkah 8.5.4.2.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{3 e}$

Langkah 9

Solve for $x$ when $y$ is $\frac{1}{3 e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $3$ dengan $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$

Langkah 9.2

Sederhanakan $\frac{1}{3 (\frac{1}{3 e})}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3 e}$ .

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Langkah 9.2.2

Kurangi pernyataan $\frac{3}{3 e}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{1}{\frac{3}{3 e}}$

Langkah 9.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{1}{\frac{1}{e}}$

Langkah 9.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = 1 e$

Langkah 9.2.4

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$x = e$

Langkah 10

Tentukan titik di mana $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(e, \frac{1}{3 e})$

Langkah 11