Kalkulus Contoh

y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Langkah 1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

Langkah 2

Turunan dari

y

$y$ terhadap

x

$x$ adalah

y'

$y'$ .

y'

$y'$

Langkah 3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari

9 x - 3 x^{2} + x^{3}

$9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ terhadap (Variabel1) adalah

\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.2

Evaluasi

\frac{d}{d x} [9 x]

$\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Karena

9

$9$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

9 x

$9 x$ terhadap

x

$x$ adalah

9 \frac{d}{d x} [x]

$9 \frac{d}{d x} [x]$ .

9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 1

$n = 1$ .

9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.2.3

Kalikan

9

$9$ dengan

1

$1$ .

9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.3

Evaluasi

\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena

- 3

$- 3$ konstan terhadap

x

$x$ , turunan dari

- 3 x^{2}

$- 3 x^{2}$ terhadap

x

$x$ adalah

- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 2

$n = 2$ .

9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan

2

$2$ dengan

- 3

$- 3$ .

9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ di mana

n = 3

$n = 3$ .

9 - 6 x + 3 x^{2}

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

Langkah 3.4.2

Susun kembali suku-suku.

3 x^{2} - 6 x + 9

$3 x^{2} - 6 x + 9$

3 x^{2} - 6 x + 9

$3 x^{2} - 6 x + 9$

3 x^{2} - 6 x + 9

$3 x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

y' = 3 x^{2} - 6 x + 9

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 5

Ganti

y'

$y'$ dengan

\frac{d y}{d x}

$\frac{d y}{d x}$ .

\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

Langkah 6

Tetapkan

\frac{d y}{d x} = 0

$\frac{d y}{d x} = 0$ , kemudian selesaikan

x

$x$ dalam bentuk

y

$y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Faktorkan

3

$3$ dari

3 x^{2} - 6 x + 9

$3 x^{2} - 6 x + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Faktorkan

3

$3$ dari

3 x^{2}

$3 x^{2}$ .

3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

Langkah 6.1.2

Faktorkan

3

$3$ dari

- 6 x

$- 6 x$ .

3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

Langkah 6.1.3

Faktorkan

3

$3$ dari

9

$9$ .

3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Langkah 6.1.4

Faktorkan

3

$3$ dari

3 x^{2} + 3 (- 2 x)

$3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Langkah 6.1.5

Faktorkan

3

$3$ dari

3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ .

3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Langkah 6.2

Bagi setiap suku pada

3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ dengan

3

$3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Bagilah setiap suku di

3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ dengan

3

$3$ .

\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari

3

$3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 6.2.2.1.2

Bagilah

$x^{2} - 2 x + 3$ dengan

$1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah

$0$ dengan

$3$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Langkah 6.3

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 6.4

Substitusikan nilai-nilai

$a = 1$ ,

$b = - 2$ , dan

$c = 3$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan

$x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.1

Naikkan

$- 2$ menjadi pangkat

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.3

Kurangi

$12$ dengan

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.4

Tulis kembali

$- 8$ sebagai

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.7

Tulis kembali

$8$ sebagai

$2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1.7.1

Faktorkan

$4$ dari

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.7.2

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.1.9

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.5.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.5.3

Sederhanakan

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Langkah 6.6

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

$+$ dari

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.1

Naikkan

$- 2$ menjadi pangkat

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.3

Kurangi

$12$ dengan

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.4

Tulis kembali

$- 8$ sebagai

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.7

Tulis kembali

$8$ sebagai

$2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1.7.1

Faktorkan

$4$ dari

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.7.2

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.1.9

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.6.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.6.3

Sederhanakan

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Langkah 6.6.4

Ubah

$\pm$ menjadi

$+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Langkah 6.7

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian

$-$ dari

$\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.1

Naikkan

$- 2$ menjadi pangkat

$2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.2

Kalikan

$- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.2.1

Kalikan

$- 4$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.2.2

Kalikan

$- 4$ dengan

$3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.3

Kurangi

$12$ dengan

$4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.4

Tulis kembali

$- 8$ sebagai

$- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.5

Tulis kembali

$\sqrt{- 1 (8)}$ sebagai

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.6

Tulis kembali

$\sqrt{- 1}$ sebagai

$i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.7

Tulis kembali

$8$ sebagai

$2^{2} \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1.7.1

Faktorkan

$4$ dari

$8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.7.2

Tulis kembali

$4$ sebagai

$2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.1.9

Pindahkan

$2$ ke sebelah kiri

$i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Langkah 6.7.2

Kalikan

$2$ dengan

$1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Langkah 6.7.3

Sederhanakan

$\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Langkah 6.7.4

Ubah

$\pm$ menjadi

$-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Langkah 6.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Langkah 7

Nilai

$x$ yang dihitung tidak boleh mengandung komponen imajiner.

$1 + i \sqrt{2}$ bukan nilai valid untuk x

Langkah 8

Nilai

$x$ yang dihitung tidak boleh mengandung komponen imajiner.

$1 - i \sqrt{2}$ bukan nilai valid untuk x

Langkah 9

No points that set

$\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

Langkah 10