Kalkulus Contoh

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

Langkah 1

Mempertimbangkan fungsi yang digunakan untuk mencari linearisasi di $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Langkah 2

Substitusikan nilai $a = 2$ ke dalam fungsi linearisasinya.

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

Langkah 3

Evaluasi $f (2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Langkah 3.2

Sederhanakan $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

Langkah 3.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\sqrt{4 + 21}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $4$ dan $21$ .

$\sqrt{25}$

Langkah 3.2.4

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Langkah 3.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$5$

Langkah 4

Tentukan turunannya dan evaluasi pada $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan dari $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x^{2} + 21}$ sebagai ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

Langkah 4.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x^{2} + 21$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 21$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 21$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.6.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.7

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.7.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.7.3

Pindahkan ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

Langkah 4.1.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 21$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

Langkah 4.1.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

Langkah 4.1.10

Karena $21$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $21$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Langkah 4.1.11

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.11.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Langkah 4.1.11.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

Langkah 4.1.11.3

Gabungkan $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.1.11.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $4$ dan $21$ .

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali $25$ sebagai $5^{2}$ .

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 4.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Langkah 4.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{5^{1}}$

Langkah 4.3.6

Evaluasi eksponennya.

$\frac{2}{5}$

Langkah 5

Substitusikan komponen-komponen ke dalam fungsi linearisasi untuk mencari linearisasi pada $a$ .

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Terapkan sifat distributif.

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Langkah 6.1.2

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $x$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

Langkah 6.1.3

Kalikan $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Gabungkan $\frac{2}{5}$ dan $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

Langkah 6.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

Langkah 6.2

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Langkah 6.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{5}{5}$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Langkah 6.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

Langkah 6.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

Langkah 6.5.2

Kurangi $4$ dengan $25$ .

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

Langkah 7